Um sistema de produção tem três máquinas (A, B e C ) que produzem uma mesma peça. As probabilidades de cada máquina estar em operação são: P(A)= 0.3, P(B)=0.5 e P(C)=0.2. As probabilidades de uma peça ser defeituosa, dado que foi produzida por cada máquina, são: P(D mid A)=0.01, P(D mid B)=0.03 e P(D mid C)=0.05. Calcule a probabilidade de uma peça ser defeituosa (P(D)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de probabilidade envolvendo três máquinas (A, B e C) que produzem a mesma peça. O objetivo é calcular a probabilidade de uma peça ser defeituosa. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos básicos de probabilidade, como a probabilidade condicional e a regra da soma total. Vamos dividir isso em passos para ficar mais fácil de entender.

Passo 2

Primeiro, vamos anotar as probabilidades que foram dadas no problema:
  • Probabilidade de cada máquina estar em operação:
    • $ P(A) = 0.3 $
    • $ P(B) = 0.5 $
    • $ P© = 0.2 $
  • Probabilidade de uma peça ser defeituosa, dado que foi produzida por cada máquina:
    • $ P(D \mid A) = 0.01 $
    • $ P(D \mid B) = 0.03 $
    • $ P(D \mid C) = 0.05 $

Passo 3

Agora, queremos encontrar a probabilidade total de uma peça ser defeituosa, ou seja, $ P(D) $. Para isso, usamos a regra da soma total da probabilidade. Essa regra nos diz que a probabilidade total de um evento pode ser encontrada somando-se as probabilidades condicionais desse evento em relação a diferentes cenários.
No nosso caso, os diferentes cenários são as máquinas A, B e C produzindo a peça. Então:
P(D)

Passo 4

Vamos substituir os valores que temos na fórmula:
P(D) = (0.3) cdot (0.01) + (0.5) cdot (0.03) + (0.2) cdot (0.05)
Agora, vamos fazer as multiplicações:
  • $ 0.3 \cdot 0.01 = 0.003 $
  • $ 0.5 \cdot 0.03 = 0.015 $
  • $ 0.2 \cdot 0.05 = 0.01 $

Passo 5

Agora, somamos esses valores para encontrar $ P(D) $:
P(D)

Resposta

A probabilidade de uma peça ser defeituosa é $ P(D) = 0.028 $, ou seja, 2,8%.

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