Um sistema de produção tem três máquinas
e
) que produzem uma mesma peça. As probabilidades de cada máquina estar em operação são:
e
. As probabilidades de uma peça ser defeituosa, dado que foi produzida por cada máquina, são:
e
. Calcule a probabilidade de uma peça ser defeituosa
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de probabilidade envolvendo três máquinas (A, B e C) que produzem a mesma peça. O objetivo é calcular a probabilidade de uma peça ser defeituosa. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos básicos de probabilidade, como a probabilidade condicional e a regra da soma total. Vamos dividir isso em passos para ficar mais fácil de entender.
Passo 2
Primeiro, vamos anotar as probabilidades que foram dadas no problema:
-
Probabilidade de cada máquina estar em operação:
- $ P(A) = 0.3 $
- $ P(B) = 0.5 $
- $ P© = 0.2 $
-
Probabilidade de uma peça ser defeituosa, dado que foi produzida por cada máquina:
- $ P(D \mid A) = 0.01 $
- $ P(D \mid B) = 0.03 $
- $ P(D \mid C) = 0.05 $
Passo 3
Agora, queremos encontrar a probabilidade total de uma peça ser defeituosa, ou seja, $ P(D) $. Para isso, usamos a regra da soma total da probabilidade. Essa regra nos diz que a probabilidade total de um evento pode ser encontrada somando-se as probabilidades condicionais desse evento em relação a diferentes cenários.
No nosso caso, os diferentes cenários são as máquinas A, B e C produzindo a peça. Então:
Passo 4
Vamos substituir os valores que temos na fórmula:
Agora, vamos fazer as multiplicações:
- $ 0.3 \cdot 0.01 = 0.003 $
- $ 0.5 \cdot 0.03 = 0.015 $
- $ 0.2 \cdot 0.05 = 0.01 $
Passo 5
Agora, somamos esses valores para encontrar $ P(D) $:
Resposta
A probabilidade de uma peça ser defeituosa é $ P(D) = 0.028 $, ou seja, 2,8%.