Uma fábrica produz um determinado tipo de peça e a probabilidade de uma peça ser defeituosa é de
. Se uma amostra é checada para procurar defeitos, qual é a probabilidade de que a primeira peça defeituosa seja a quarta verificada?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma fábrica que produz peças, e a chance de uma peça ser defeituosa é de $ p = 0,1 $. A pergunta é: qual a probabilidade de que a primeira peça defeituosa apareça na quarta verificação? Vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição geométrica, que nos ajuda a calcular a probabilidade de que o primeiro sucesso (neste caso, defeito) ocorra exatamente no $ k $-ésimo teste.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que queremos que as três primeiras peças verificadas sejam perfeitas (não defeituosas) e que a quarta peça seja a primeira com defeito. A probabilidade de uma peça ser perfeita é $ 1 - p = 0,9 $.
Passo 3
A próxima etapa é calcular a probabilidade de que as três primeiras peças sejam perfeitas. Como cada verificação é independente, multiplicamos as probabilidades:
Passo 4
Agora, precisamos multiplicar essa probabilidade pelo $ p $ da quarta peça ser defeituosa:
Passo 5
Vamos calcular os valores:
Resposta
A probabilidade de que a primeira peça defeituosa seja a quarta verificada é de $ 0,0729 $ ou 7,29%.