Uma fábrica produz um determinado tipo de peça e a probabilidade de uma peça ser defeituosa é de p=0,1. Se uma amostra é checada para procurar defeitos, qual é a probabilidade de que a primeira peça defeituosa seja a quarta verificada?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma fábrica que produz peças, e a chance de uma peça ser defeituosa é de $ p = 0,1 $. A pergunta é: qual a probabilidade de que a primeira peça defeituosa apareça na quarta verificação? Vamos usar conceitos de probabilidade, especificamente a distribuição geométrica, que nos ajuda a calcular a probabilidade de que o primeiro sucesso (neste caso, defeito) ocorra exatamente no $ k $-ésimo teste.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que queremos que as três primeiras peças verificadas sejam perfeitas (não defeituosas) e que a quarta peça seja a primeira com defeito. A probabilidade de uma peça ser perfeita é $ 1 - p = 0,9 $.

Passo 3

A próxima etapa é calcular a probabilidade de que as três primeiras peças sejam perfeitas. Como cada verificação é independente, multiplicamos as probabilidades:
(1 - p) times (1 - p) times (1 - p) = (0,9)^3

Passo 4

Agora, precisamos multiplicar essa probabilidade pelo $ p $ da quarta peça ser defeituosa:
p

Passo 5

Vamos calcular os valores:
(0,9)^3 = 0,729
0,729 times 0,1 = 0,0729

Resposta

A probabilidade de que a primeira peça defeituosa seja a quarta verificada é de $ 0,0729 $ ou 7,29%.

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