Uma fábrica produz lâmpadas, e a vida útil média das lâmpadas é de 1200 horas com desvio padrão populacional de 100 horas. Se uma amostra de 64 lâmpadas tiver uma média de 1180 horas, qual é o intervalo de confiança de para a vida útil média das lâmpadas?
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma fábrica que produz lâmpadas com uma vida útil média de 1200 horas e um desvio padrão de 100 horas. Pegamos uma amostra de 64 lâmpadas e descobrimos que a média dessa amostra é de 1180 horas. O que precisamos encontrar é o intervalo de confiança de 95% para a vida útil média das lâmpadas.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística inferencial, especificamente o intervalo de confiança para a média quando conhecemos o desvio padrão da população. Precisamos entender como calcular o erro padrão e como utilizar a distribuição normal padrão (z).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
Média populacional (): 1200 horas
Desvio padrão populacional (): 100 horas
Tamanho da amostra (): 64 lâmpadas
Média da amostra (): 1180 horas
Nível de confiança: 95%
Passo 3
O próximo passo é calcular o erro padrão da média. O erro padrão () nos mostra o quanto a média da amostra pode variar em relação à média da população. A fórmula é:
Substituindo os valores:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o valor crítico z correspondente ao nível de confiança de 95%. Para 95%, o valor z é aproximadamente 1.96. Esse valor nos indica quantos desvios padrão devemos considerar para formar o intervalo de confiança.
Passo 5
Com o erro padrão e o valor z, podemos calcular a margem de erro ():
Passo 6
Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo a margem de erro da média da amostra:
O que resulta em:
Resposta
O intervalo de confiança de 95% para a vida útil média das lâmpadas é entre 1155,5 horas e 1204,5 horas.