Uma fábrica produz lâmpadas, e a vida útil média das lâmpadas é de 1200 horas com desvio padrão populacional de 100 horas. Se uma amostra de 64 lâmpadas tiver uma média de 1180 horas, qual é o intervalo de confiança de 95 % para a vida útil média das lâmpadas?

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma fábrica que produz lâmpadas com uma vida útil média de 1200 horas e um desvio padrão de 100 horas. Pegamos uma amostra de 64 lâmpadas e descobrimos que a média dessa amostra é de 1180 horas. O que precisamos encontrar é o intervalo de confiança de 95% para a vida útil média das lâmpadas.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística inferencial, especificamente o intervalo de confiança para a média quando conhecemos o desvio padrão da população. Precisamos entender como calcular o erro padrão e como utilizar a distribuição normal padrão (z).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dados que temos:
  • Média populacional ( ): 1200 horas
  • Desvio padrão populacional ( ): 100 horas
  • Tamanho da amostra ( ): 64 lâmpadas
  • Média da amostra ( ): 1180 horas
  • Nível de confiança: 95%

Passo 3

O próximo passo é calcular o erro padrão da média. O erro padrão ( Ep = sigmaraizn ) nos mostra o quanto a média da amostra pode variar em relação à média da população. A fórmula é:
Ep = 100raiz64 = 1008 = 12.5
Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o valor crítico z correspondente ao nível de confiança de 95%. Para 95%, o valor z é aproximadamente 1.96. Esse valor nos indica quantos desvios padrão devemos considerar para formar o intervalo de confiança.

Passo 5

Com o erro padrão e o valor z, podemos calcular a margem de erro ( ME = z times Ep = 1.96 times 12.5 = 24.5 ):

Passo 6

Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo a margem de erro da média da amostra:
Intervalo de Confiança = barx pm ME = 1180 pm 24.5 ç
O que resulta em:
1155.5 horas <= mu <= 1204.5 horas

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a vida útil média das lâmpadas é entre 1155,5 horas e 1204,5 horas.

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