Por que usamos a distribuição normal (ZZZ) e não a distribuição T ao calcular intervalos de confiança para proporções, mesmo quando o desvio padrão é desconhecido?

Passo 1

Então, a gente está perguntando por que, quando queremos calcular intervalos de confiança para proporções, a gente usa a distribuição normal (também conhecida como distribuição Z) e não a distribuição t, mesmo quando não conhecemos o desvio padrão. Vamos precisar entender um pouco sobre distribuições de probabilidade, intervalos de confiança, proporções e as diferenças entre as distribuições Z e t.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um intervalo de confiança. É uma faixa de valores que provavelmente contém o parâmetro que estamos tentando estimar, como uma proporção da população. Para calcular esse intervalo, usamos uma distribuição de probabilidade que nos ajuda a determinar quão confiantes estamos nessa estimativa.
Quando estamos lidando com proporções, a distribuição que normalmente usamos é a distribuição normal. Isso acontece porque, segundo o Teorema Central do Limite, para amostras grandes, a distribuição das proporções amostrais tende a seguir uma distribuição normal, mesmo que a distribuição original não seja normal.
A fórmula para o intervalo de confiança usando a distribuição normal é:
Onde:
  • é a proporção amostral
  • é o valor crítico da distribuição normal
  • é o tamanho da amostra

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a distribuição t. A distribuição t é especialmente útil quando estamos estimando a média de uma população e o tamanho da amostra é pequeno, além de não conhecermos o desvio padrão da população. Ela tem caudas mais largas, o que leva em conta a maior incerteza quando temos amostras pequenas.
A fórmula para o intervalo de confiança usando a distribuição t é:
Onde:
  • é a média amostral
  • é o valor crítico da distribuição t
  • é o desvio padrão amostral
  • é o tamanho da amostra

Passo 4

A diferença chave aqui é que a distribuição t é usada principalmente para médias com amostras pequenas e quando o desvio padrão da população é desconhecido. Já para proporções, especialmente com amostras grandes, a distribuição normal funciona bem porque a proporção amostral já segue uma distribuição aproximadamente normal graças ao Teorema Central do Limite.
Além disso, para proporções, a variabilidade é diretamente relacionada à própria proporção ( ), o que simplifica o uso da distribuição normal.

Passo 5

Portanto, usamos a distribuição normal para calcular intervalos de confiança para proporções porque:
  1. Aproximação Normal: Com amostras grandes, a distribuição das proporções amostrais se aproxima de uma distribuição normal.
  2. Simplicidade: A variabilidade das proporções é diretamente incorporada na fórmula da distribuição normal, tornando-a adequada sem a necessidade da distribuição t.
  3. Adequação da Distribuição t: A distribuição t é mais apropriada para médias com amostras pequenas e quando o desvio padrão da população é desconhecido, o que não é o caso típico ao trabalhar com proporções.

Resposta

Usamos a distribuição normal (Z) para calcular intervalos de confiança para proporções porque, com amostras grandes, a distribuição das proporções amostrais se aproxima de uma normal graças ao Teorema Central do Limite. Isso torna a distribuição normal adequada e simplifica os cálculos, diferentemente da distribuição t, que é mais indicada para médias com amostras pequenas e desvios padrão desconhecidos.

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