Uma fábrica produz peças com uma probabilidade de defeito de 0,05. Qual a probabilidade de que em uma amostra de 20 peças, haja exatamente 2 defeituosas, dado que já se sabe que há pelo menos uma defeituosa?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre probabilidade: uma fábrica produz peças com 5% de chance de ter defeito. Queremos saber qual a probabilidade de, em uma amostra de 20 peças, exatamente 2 serem defeituosas, sabendo que já existe pelo menos uma defeituosa. Para resolver isso, vamos usar o conceito de probabilidade condicional e a distribuição binomial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “exatamente 2 defeituosas”. Isso quer dizer que, das 20 peças, 2 têm defeito e as outras 18 são perfeitas. A probabilidade disso acontecer segue a distribuição binomial, que usa a fórmula:
P(X = k) = binomnk p^k (1-p)^n-k
onde:
  • $ n = 20 $ (número total de peças)
  • $ k = 2 $ (número de peças defeituosas)
  • $ p = 0,05 $ (probabilidade de uma peça ser defeituosa)

Passo 3

Vamos calcular $ P(X = 2) $:
P(X = 2)
Primeiro, calculamos o coeficiente binomial:
P(X = 2) = binom202 (0,05)^2 (0,95)^18
Então:
binom202 = 20!2!(20-2)! = 20 times 192 = 190

Passo 4

Agora, precisamos considerar que já sabemos que há pelo menos uma peça defeituosa. Para isso, calculamos $ P(X \geq 1) $, que é a probabilidade de ter uma ou mais peças defeituosas. Podemos achar isso subtraindo a probabilidade de não ter nenhuma defeituosa de 1:
P(X >= 1)
Calculando $ P(X = 0) $:
P(X >= 1) = 1 - P(X = 0)
Então:
P(X = 0)

Passo 5

Finalmente, a probabilidade condicional que queremos é:
P(X = 2 mid X >= 1) = P(X = 2)P(X >= 1) = 0,1790,6415 approx 0,279

Resposta

A probabilidade de que, em uma amostra de 20 peças, exatamente 2 sejam defeituosas, dado que já há pelo menos uma defeituosa, é aproximadamente 27,9%.

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