Uma fábrica produz peças com uma probabilidade de defeito de 0,05. Qual a probabilidade de que em uma amostra de 20 peças, haja exatamente 2 defeituosas, dado que já se sabe que há pelo menos uma defeituosa?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre probabilidade: uma fábrica produz peças com 5% de chance de ter defeito. Queremos saber qual a probabilidade de, em uma amostra de 20 peças, exatamente 2 serem defeituosas, sabendo que já existe pelo menos uma defeituosa. Para resolver isso, vamos usar o conceito de probabilidade condicional e a distribuição binomial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa “exatamente 2 defeituosas”. Isso quer dizer que, das 20 peças, 2 têm defeito e as outras 18 são perfeitas. A probabilidade disso acontecer segue a distribuição binomial, que usa a fórmula:
onde:
- $ n = 20 $ (número total de peças)
- $ k = 2 $ (número de peças defeituosas)
- $ p = 0,05 $ (probabilidade de uma peça ser defeituosa)
Passo 3
Vamos calcular $ P(X = 2) $:
Primeiro, calculamos o coeficiente binomial:
Então:
Passo 4
Agora, precisamos considerar que já sabemos que há pelo menos uma peça defeituosa. Para isso, calculamos $ P(X \geq 1) $, que é a probabilidade de ter uma ou mais peças defeituosas. Podemos achar isso subtraindo a probabilidade de não ter nenhuma defeituosa de 1:
Calculando $ P(X = 0) $:
Então:
Passo 5
Finalmente, a probabilidade condicional que queremos é:
Resposta
A probabilidade de que, em uma amostra de 20 peças, exatamente 2 sejam defeituosas, dado que já há pelo menos uma defeituosa, é aproximadamente 27,9%.