Uma fábrica produz mensalmente x unidades de um produto A e y unidades de um produto B, sendo o custo mensal da produção conjunta dado por C(x, y)=20000+ raizx^2+y^2. Em certo mês foram produzidos 3000 unidades do produto A e 2000 unidades do produto B. Calcule partial Cpartial x e partial Cpartial y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma fábrica que produz mensalmente unidades do produto A e unidades do produto B. O custo mensal de produção conjunta é dado por . No mês em questão, foram produzidos 3000 unidades de A e 2000 de B. Nosso objetivo aqui é calcular as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e . Para isso, vamos precisar conhecer um pouco de cálculo diferencial, principalmente sobre derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma derivada parcial. Quando temos uma função de duas variáveis, como , a derivada parcial em relação a ( ) mede como o custo muda quando apenas varia, mantendo constante. Mesma coisa para .

Passo 3

Vamos calcular partial Cpartial x = ddx ( raizx^2 + y^2 ) = 12(x^2 + y^2)^-1/2 cdot 2x = xraizx^2 + y^2 . A função é . A derivada de uma constante é zero, então a derivada de é 0. Para a segunda parte, usamos a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, vamos calcular partial Cpartial y = ddy ( raizx^2 + y^2 ) = 12(x^2 + y^2)^-1/2 cdot 2y = yraizx^2 + y^2 seguindo um raciocínio parecido:

Passo 5

Agora que temos as expressões das derivadas parciais, vamos substituir os valores dados: raiz3000^2 + 2000^2 = raiz9000000 + 4000000 = raiz13000000 approx 3605.55 e .
Primeiro, calculamos :

Passo 6

Agora, substituímos na derivada parcial em relação a partial Cpartial x = 30003605.55 approx 0.832 :
partial Cpartial y = 20003605.55 approx 0.554
E na derivada parcial em relação a :

Resposta

As derivadas parciais são aproximadamente e .

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