Uma fábrica produz mensalmente unidades de um produto e unidades de um produto , sendo o custo mensal da produção conjunta dado por . Em certo mês foram produzidos 3000 unidades do produto e 2000 unidades do produto . Calcule e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma fábrica que produz mensalmente unidades do produto A e unidades do produto B. O custo mensal de produção conjunta é dado por . No mês em questão, foram produzidos 3000 unidades de A e 2000 de B. Nosso objetivo aqui é calcular as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e . Para isso, vamos precisar conhecer um pouco de cálculo diferencial, principalmente sobre derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma derivada parcial. Quando temos uma função de duas variáveis, como , a derivada parcial em relação a ( ) mede como o custo muda quando apenas varia, mantendo constante. Mesma coisa para .

Passo 3

Vamos calcular . A função é . A derivada de uma constante é zero, então a derivada de é 0. Para a segunda parte, usamos a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, vamos calcular seguindo um raciocínio parecido:

Passo 5

Agora que temos as expressões das derivadas parciais, vamos substituir os valores dados: e .
Primeiro, calculamos :

Passo 6

Agora, substituímos na derivada parcial em relação a :
E na derivada parcial em relação a :

Resposta

As derivadas parciais são aproximadamente e .

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Calcule
Especifique o domínio das funções dadas abaixo:
Ordene os números abaixo em ordem crescente:

Dica:
Resolva a equação: