Uma fábrica produz mensalmente
unidades de um produto
e
unidades de um produto
, sendo o custo mensal da produção conjunta dado por
. Em certo mês foram produzidos 3000 unidades do produto
e 2000 unidades do produto
. Calcule
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma fábrica que produz mensalmente
unidades do produto A e
unidades do produto B. O custo mensal de produção conjunta é dado por
. No mês em questão, foram produzidos 3000 unidades de A e 2000 de B. Nosso objetivo aqui é calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, ou seja,
e
. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco de cálculo diferencial, principalmente sobre derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma derivada parcial. Quando temos uma função de duas variáveis, como
, a derivada parcial em relação a
(
) mede como o custo muda quando apenas
varia, mantendo
constante. Mesma coisa para
.
Passo 3
Vamos calcular
. A função é
. A derivada de uma constante é zero, então a derivada de
é 0. Para a segunda parte, usamos a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, vamos calcular
seguindo um raciocínio parecido:
Passo 5
Agora que temos as expressões das derivadas parciais, vamos substituir os valores dados:
e
.
Primeiro, calculamos
:
Passo 6
Agora, substituímos na derivada parcial em relação a
:
E na derivada parcial em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais são aproximadamente
e
.
Exercícios relacionados
Calcule
Especifique o domínio das funções dadas abaixo:
Ordene os números abaixo em ordem crescente:
Dica:
Dica:
Resolva a equação: