Uma urna contém 4 bolas pretas e 6 bolas brancas, 3 bolas são retiradas sem reposição. Seja X a variável aleatória que representa o número de bolas pretas, encontre a valor esperado de X . (Feito em sala)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma urna com 4 bolas pretas e 6 bolas brancas, totalizando 10 bolas. A gente vai retirar 3 bolas sem repor. A variável aleatória $ X $ representa o número de bolas pretas que a gente vai tirar. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor esperado de $ X $, ou seja, o quanto a gente espera tirar, em média, de bolas pretas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o valor esperado de uma variável aleatória discreta, como o $ X $, é a soma de cada valor possível de $ X $ multiplicado pela probabilidade desse valor ocorrer. Matemáticamente, isso é:
X

Passo 3

No nosso caso, $ X $ pode ser 0, 1, 2 ou 3, já que estamos tirando 3 bolas. Então, precisamos calcular $ P(X = 0) $, $ P(X = 1) $, $ P(X = 2) $ e $ P(X = 3) $.

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando combinações, já que a ordem das bolas não importa.
Para $ P(X = k) $:
P(X = k)
Onde $ \dbinom{n}{k} $ é a combinação de $ n $ elementos tomados $ k $ de cada vez.

Passo 5

Vamos calcular cada uma:
  • Para $ X = 0 $:
X = 0
  • Para $ X = 1 $:
P(X = 0) = dbinom40 cdot dbinom63dbinom103 = 1 cdot 20120 = 20120 = 16
  • Para $ X = 2 $:
X = 1
  • Para $ X = 3 $:
P(X = 1) = dbinom41 cdot dbinom62dbinom103 = 4 cdot 15120 = 60120 = 12

Passo 6

Agora, vamos substituir essas probabilidades na fórmula do valor esperado:
E[X] = 0 cdot 16 + 1 cdot 12 + 2 cdot 310 + 3 cdot 130

Passo 7

Fazendo as contas:
E[X] = 0 + 12 + 610 + 330 = 12 + 35 + 110
Simplificando:
E[X] = 510 + 610 + 110 = 1210 = 1,2

Resposta

O valor esperado de $ X $ é 1,2 bolas pretas.

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