Uma urna contém 4 bolas pretas e 6 bolas brancas, 3 bolas são retiradas sem reposição. Seja
a variável aleatória que representa o número de bolas pretas, encontre a valor esperado de X . (Feito em sala)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma urna com 4 bolas pretas e 6 bolas brancas, totalizando 10 bolas. A gente vai retirar 3 bolas sem repor. A variável aleatória $ X $ representa o número de bolas pretas que a gente vai tirar. Nosso objetivo aqui é encontrar o valor esperado de $ X $, ou seja, o quanto a gente espera tirar, em média, de bolas pretas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o valor esperado de uma variável aleatória discreta, como o $ X $, é a soma de cada valor possível de $ X $ multiplicado pela probabilidade desse valor ocorrer. Matemáticamente, isso é:
Passo 3
No nosso caso, $ X $ pode ser 0, 1, 2 ou 3, já que estamos tirando 3 bolas. Então, precisamos calcular $ P(X = 0) $, $ P(X = 1) $, $ P(X = 2) $ e $ P(X = 3) $.
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando combinações, já que a ordem das bolas não importa.
Para $ P(X = k) $:
Onde $ \dbinom{n}{k} $ é a combinação de $ n $ elementos tomados $ k $ de cada vez.
Passo 5
Vamos calcular cada uma:
- Para $ X = 0 $:
- Para $ X = 1 $:
- Para $ X = 2 $:
- Para $ X = 3 $:
Passo 6
Agora, vamos substituir essas probabilidades na fórmula do valor esperado:
Passo 7
Fazendo as contas:
Simplificando:
Resposta
O valor esperado de $ X $ é 1,2 bolas pretas.