Uma fábrica produz peças que são embaladas em caixas com 40 unidades. Para aceitar o lote de caixas enviado por essa fábrica, o controle de qualidade de uma empresa sorteia uma caixa do lote e sorteia 10 peças, sem reposição, dessa mesma caixa. Se houver alguma peça defeituosa, o lote inteiro é devolvido. Se a caixa sorteada tiver 4 peças defeituosas, qual é a probabilidade de o lote não ser devolvido?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma fábrica que faz caixas com 40 peças cada. O controle de qualidade escolhe uma caixa aleatoriamente e, dessa caixa, retira 10 peças também de forma aleatória e sem repor. Se alguma dessas 10 peças estiver defeituosa, o lote todo é devolvido. Sabemos que a caixa escolhida tem 4 peças defeituosas. Nosso objetivo é descobrir qual a probabilidade de o lote não ser devolvido, ou seja, que nenhuma das 10 peças sorteadas seja defeituosa. Vamos usar conceitos de probabilidade combinatória para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quantas maneiras diferentes existem para escolher 10 peças de uma caixa que tem 40 peças no total. Isso é dado pela combinação de 40 peças tomadas 10 a 10, que representamos por:
Essa é a quantidade total de possibilidades possíveis de seleção das 10 peças.
Passo 3
Agora, queremos que todas as 10 peças escolhidas sejam não defeituosas. Sabemos que, na caixa, há 4 peças defeituosas, então o número de peças não defeituosas é:
Então, a quantidade de maneiras de escolher 10 peças apenas entre as 36 não defeituosas é:
Passo 4
A probabilidade de não encontrar nenhuma peça defeituosa nas 10 escolhidas é a razão entre o número de maneiras de escolher 10 peças não defeituosas e o número total de maneiras de escolher 10 peças quaisquer. Logo, a probabilidade
é:
Passo 5
Agora, vamos calcular esses valores. Usando a fórmula de combinação:
Então:
Passo 6
Simplificando a expressão da probabilidade:
Podemos simplificar mais cancelando alguns termos:
Então:
Passo 7
Calculando os valores:
Resposta
A probabilidade de o lote não ser devolvido é aproximadamente 30,37%.