Uma fábrica produz peças que são embaladas em caixas com 40 unidades. Para aceitar o lote de caixas enviado por essa fábrica, o controle de qualidade de uma empresa sorteia uma caixa do lote e sorteia 10 peças, sem reposição, dessa mesma caixa. Se houver alguma peça defeituosa, o lote inteiro é devolvido. Se a caixa sorteada tiver 4 peças defeituosas, qual é a probabilidade de o lote não ser devolvido?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma fábrica que faz caixas com 40 peças cada. O controle de qualidade escolhe uma caixa aleatoriamente e, dessa caixa, retira 10 peças também de forma aleatória e sem repor. Se alguma dessas 10 peças estiver defeituosa, o lote todo é devolvido. Sabemos que a caixa escolhida tem 4 peças defeituosas. Nosso objetivo é descobrir qual a probabilidade de o lote não ser devolvido, ou seja, que nenhuma das 10 peças sorteadas seja defeituosa. Vamos usar conceitos de probabilidade combinatória para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quantas maneiras diferentes existem para escolher 10 peças de uma caixa que tem 40 peças no total. Isso é dado pela combinação de 40 peças tomadas 10 a 10, que representamos por:
binom4010
Essa é a quantidade total de possibilidades possíveis de seleção das 10 peças.

Passo 3

Agora, queremos que todas as 10 peças escolhidas sejam não defeituosas. Sabemos que, na caixa, há 4 peças defeituosas, então o número de peças não defeituosas é:
40 - 4 = 36
Então, a quantidade de maneiras de escolher 10 peças apenas entre as 36 não defeituosas é:
binom3610

Passo 4

A probabilidade de não encontrar nenhuma peça defeituosa nas 10 escolhidas é a razão entre o número de maneiras de escolher 10 peças não defeituosas e o número total de maneiras de escolher 10 peças quaisquer. Logo, a probabilidade P = binom3610binom4010 é:

Passo 5

Agora, vamos calcular esses valores. Usando a fórmula de combinação:
binomnk = n!k!(n - k)!
Então:
binom3610 = 36!10! times 26!
binom4010 = 40!10! times 30!

Passo 6

Simplificando a expressão da probabilidade:
P = 36!10! times 26!40!10! times 30! = 36! times 30!40! times 26!
Podemos simplificar mais cancelando alguns termos:
36!40! = 140 times 39 times 38 times 37
30!26! = 30 times 29 times 28 times 27
Então:
P = 30 times 29 times 28 times 2740 times 39 times 38 times 37

Passo 7

Calculando os valores:
P = 30 times 29 times 28 times 2740 times 39 times 38 times 37 = 6577202162160 approx 0,3037

Resposta

A probabilidade de o lote não ser devolvido é aproximadamente 30,37%.

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