Seja uma variável aleatória discreto X. A função de probabilidade de X é dada por
X p(x)
-1 0.2
2 0.3
4 0.4
5 0.1

Calcular

variância de X.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre variância de uma variável aleatória discreta X. Primeiro, a gente precisa entender que a variância mede o quanto os valores de X estão espalhados em relação à média. Para isso, vamos usar a tabela de probabilidades que foi dada. Precisamos calcular a média de X e depois aplicar a fórmula da variância.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média de X, que também é chamada de valor esperado, denotada por E(X). A fórmula para isso é:
E(X) = sum x cdot p(x)
Isso significa que a gente multiplica cada valor de X pela sua probabilidade correspondente e soma tudo.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula com os valores da tabela:
E(X) = (-1) cdot 0.2 + 2 cdot 0.3 + 4 cdot 0.4 + 5 cdot 0.1
Calculando cada termo:
E(X) = -0.2 + 0.6 + 1.6 + 0.5 = 2.5
Então, a média de X é 2.5.

Passo 4

Agora, vamos calcular a variância de X. A fórmula da variância é:
Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2
Primeiro, precisamos calcular E(X^2), que é o valor esperado de X ao quadrado.

Passo 5

Vamos calcular E(X^2) usando a mesma abordagem:
E(X^2) = sum x^2 cdot p(x)
Aplicando os valores da tabela:
E(X^2) = (-1)^2 cdot 0.2 + 2^2 cdot 0.3 + 4^2 cdot 0.4 + 5^2 cdot 0.1
Calculando cada termo:
E(X^2) = 1 cdot 0.2 + 4 cdot 0.3 + 16 cdot 0.4 + 25 cdot 0.1 = 0.2 + 1.2 + 6.4 + 2.5 = 10.3
Então, E(X^2) = 10.3.

Passo 6

Agora, vamos usar esses valores na fórmula da variância:
Var(X) = 10.3 - (2.5)^2 = 10.3 - 6.25 = 4.05

Resposta

A variância de X é 4.05.

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