Um fabricante calculou que o custo marginal de uma produção de q unidades é de dC/dq
reais por unidade. O custo de produção das duas primeiras unidades foi de R$ 900,00. Qual será o custo total de produção das cinco primeiras unidades?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre custo marginal, que é o custo adicional para produzir uma unidade a mais. Aqui, a função do custo marginal é
. Sabemos também que produzir as duas primeiras unidades custa R$900,00. Nosso objetivo é descobrir o custo total para produzir as cinco primeiras unidades. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho de cálculo, especificamente de integração, que nos ajuda a achar o custo total a partir do custo marginal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o custo marginal
é a derivada do custo total em relação à quantidade produzida
. Para encontrar o custo total
, precisamos integrar a função do custo marginal. A integral de
nos dá o custo total:
Passo 3
Vamos calcular essa integral. Integrando cada termo separadamente:
Então, juntando tudo, temos:
Aqui,
é a constante de integração que precisamos determinar.
Passo 4
Para achar o valor de
, usamos a informação que o custo das duas primeiras unidades é R$900,00, ou seja,
.
Vamos substituir
na equação do custo total:
Resolvendo para
:
Passo 5
Agora que temos a constante
, a equação do custo total fica:
Passo 6
Queremos saber o custo total das cinco primeiras unidades, ou seja,
.
Vamos substituir
na equação:
Resposta
O custo total de produção das cinco primeiras unidades é de R$1.587,00.
Exercícios relacionados
Determine a integral indefinida a seguir:
Resolver a integral
Verdadeiro (V) ou falso(F). Justifique sua resposta
b) ( ) Se f é uma função derivável em x=a então f é contínua em x=a
b) ( ) Se f é uma função derivável em x=a então f é contínua em x=a
Resolva a integral a seguir utilizando a técnica da integração por partes: