Um fabricante calculou que o custo marginal de uma produção de q unidades é de dC/dq reais por unidade. O custo de produção das duas primeiras unidades foi de R$ 900,00. Qual será o custo total de produção das cinco primeiras unidades?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre custo marginal, que é o custo adicional para produzir uma unidade a mais. Aqui, a função do custo marginal é . Sabemos também que produzir as duas primeiras unidades custa R$900,00. Nosso objetivo é descobrir o custo total para produzir as cinco primeiras unidades. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho de cálculo, especificamente de integração, que nos ajuda a achar o custo total a partir do custo marginal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o custo marginal é a derivada do custo total em relação à quantidade produzida . Para encontrar o custo total , precisamos integrar a função do custo marginal. A integral de nos dá o custo total:

Passo 3

Vamos calcular essa integral. Integrando cada termo separadamente:
Então, juntando tudo, temos:
Aqui, é a constante de integração que precisamos determinar.

Passo 4

Para achar o valor de , usamos a informação que o custo das duas primeiras unidades é R$900,00, ou seja, .
Vamos substituir na equação do custo total:
Resolvendo para :

Passo 5

Agora que temos a constante , a equação do custo total fica:

Passo 6

Queremos saber o custo total das cinco primeiras unidades, ou seja, .
Vamos substituir na equação:

Resposta

O custo total de produção das cinco primeiras unidades é de R$1.587,00.

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Resolver a integral
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b) ( ) Se f é uma função derivável em x=a então f é contínua em x=a
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