Resolva a integral a seguir utilizando a técnica da integração por partes:
integral 5 x cdot ln (4 x) d x

Passo 1

Beleza, a gente tem que resolver a integral . Isso pertence ao conteúdo de cálculo integral, mais especificamente à técnica de integração por partes. Vamos precisar identificar quais partes da função vamos chamar de e para aplicar a fórmula da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Para aplicar isso, a gente precisa escolher qual parte da nossa integral vai ser e qual vai ser . Uma boa regra é escolher como a função que fica mais simples quando derivada.

Passo 3

No nosso caso, vamos escolher:
u = ln(4x)
Então, vamos derivar du = ddx ln(4x) , dx = 14x cdot 4 , dx = 1x , dx para encontrar :

Passo 4

Agora, vamos escolher dv = 5x , dx :
v = integral 5x , dx = 5x^22
Para encontrar , a gente integra :

Passo 5

Com integral 5x cdot ln(4x) , dx = uv - integral v , du , = ln(4x) cdot 5x^22 - integral 5x^22 cdot 1x , dx , e identificados, vamos aplicar a fórmula da integração por partes:
Substituindo:

Passo 6

Vamos simplificar a integral que ficou:
integral 5x^22 cdot 1x , dx = integral 5x2 , dx = 52 integral x , dx = 52 cdot x^22 = 5x^24

Passo 7

Agora, substituímos de volta na expressão principal:
integral 5x cdot ln(4x) , dx = 5x^22 ln(4x) - 5x^24 + C
onde é a constante de integração.

Resposta

A integral 5x^22 ln(4x) - 5x^24 + C é igual a:

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