Resolva a integral a seguir utilizando a técnica da integração por partes:

Passo 1

Beleza, a gente tem que resolver a integral . Isso pertence ao conteúdo de cálculo integral, mais especificamente à técnica de integração por partes. Vamos precisar identificar quais partes da função vamos chamar de e para aplicar a fórmula da integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Para aplicar isso, a gente precisa escolher qual parte da nossa integral vai ser e qual vai ser . Uma boa regra é escolher como a função que fica mais simples quando derivada.

Passo 3

No nosso caso, vamos escolher:
Então, vamos derivar para encontrar :

Passo 4

Agora, vamos escolher :
Para encontrar , a gente integra :

Passo 5

Com , , e identificados, vamos aplicar a fórmula da integração por partes:
Substituindo:

Passo 6

Vamos simplificar a integral que ficou:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na expressão principal:
onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a:

Exercícios relacionados

Verdadeiro (V) ou falso(F). Justifique sua resposta
b) ( ) Se f é uma função derivável em x=a então f é contínua em x=a
Um fabricante calculou que o custo marginal de uma produção de q unidades é de dC/dq reais por unidade. O custo de produção das duas primeiras unidades foi de R$ 900,00. Qual será o custo total de produção das cinco primeiras unidades?
Integrando a velocidade escalar ao longo do tempo, obtém-se a distância percorrida. Diante da afirmação, considere a velocidade de uma partícula que se move de um lado para o outro em um reta é , para qualquer tempo . Se o espaço, quando , determine o valor de quando , logo em seguida marque a alternativa correta: Considere:
  • = tempo em segundos;
  • = distância percorrida em metro.
    A. Quando segundos, o valor de é 1 m .
    B. Quando segundos, o valor de é 4 m .
    C. Quando segundos, o valor de é 8 m .
    D. Quando segundos, o valor de é 12 m .
    Quando segundos, o valor de é 16 m .
Esboce a região
b) Delimitada pela curva e as retas