Verdadeiro (V) ou falso(F). Justifique sua resposta
b) ( ) Se f é uma função derivável em x=a então f é contínua em x=a
b) ( ) Se f é uma função derivável em x=a então f é contínua em x=a
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: "Se
é uma função derivável em
, então
é contínua em
". O conteúdo aqui envolve derivabilidade e continuidade de funções. Para resolver isso, precisamos entender como a derivabilidade se relaciona com a continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser derivável em um ponto. Uma função
é derivável em
se o limite
existe. Isso basicamente significa que a função tem uma taxa de variação bem definida naquele ponto.
Passo 3
Agora, vamos pensar na continuidade. Uma função é contínua em
se
ou seja, o limite da função quando
se aproxima de
é igual ao valor da função em
.
Passo 4
Para provar que derivabilidade implica continuidade, vamos partir da definição de derivada. Se
é derivável em
, então:
Esse limite existe, o que nos diz que
se comporta de forma “previsível” conforme
se aproxima de 0.
Passo 5
Multiplicando ambos os lados da equação acima por
, temos:
Isso mostra que:
Que é exatamente a definição de continuidade em
.
Resposta
Verdadeiro (V). Se uma função é derivável em
, então ela necessariamente é contínua em
, pois a existência da derivada garante que o limite da função quando
se aproxima de
é igual ao valor da função naquele ponto.