Verdadeiro (V) ou falso(F). Justifique sua resposta
b) ( ) Se f é uma função derivável em x=a então f é contínua em x=a

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: "Se é uma função derivável em , então é contínua em ". O conteúdo aqui envolve derivabilidade e continuidade de funções. Para resolver isso, precisamos entender como a derivabilidade se relaciona com a continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser derivável em um ponto. Uma função é derivável em se o limite
existe. Isso basicamente significa que a função tem uma taxa de variação bem definida naquele ponto.

Passo 3

Agora, vamos pensar na continuidade. Uma função é contínua em se
ou seja, o limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função em .

Passo 4

Para provar que derivabilidade implica continuidade, vamos partir da definição de derivada. Se é derivável em , então:
Esse limite existe, o que nos diz que se comporta de forma “previsível” conforme se aproxima de 0.

Passo 5

Multiplicando ambos os lados da equação acima por , temos:
Isso mostra que:
Que é exatamente a definição de continuidade em .

Resposta

Verdadeiro (V). Se uma função é derivável em , então ela necessariamente é contínua em , pois a existência da derivada garante que o limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função naquele ponto.

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