Cp^p+Cp+1^p+Cp+2^p+ldots+Cn^p=Cn+1^p+1
Considere a expressão a seguir:
E=sumi=2^18 Ci^2=C2^2+C3^2+C4^2+ldots+C18^2
Podemos afirmar que a expressão E é igual a:
a) 1250
b) 969
c) 898
d) 625
e) 596

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma expressão que soma várias combinações, ou seja, somamos para de 2 até 18. O conteúdo que vamos usar aqui está relacionado a coeficientes binomiais e uma identidade que facilita essa soma. Então, para resolver isso, vamos precisar entender a fórmula dos coeficientes binomiais e aplicar uma identidade específica que simplifica a nossa tarefa.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um coeficiente binomial. A notação Ci^2 = i!2!(i-2)! = i(i-1)2 representa “i escolhe 2”, ou seja, o número de maneiras de escolher 2 elementos dentre . A fórmula para calcular isso é:
Isso nos dá uma forma de calcular cada termo da soma.

Passo 3

Agora, temos uma soma:
E = sumi=2^18 Ci^2 = C2^2 + C3^2 + C4^2 + ldots + C18^2
Calcular cada termo individualmente seria trabalhoso, então vamos usar uma identidade que facilita tudo isso. A identidade que a gente vai usar é:
sumk=p^n Ck^p = Cn+1^p+1
Nesse caso, e .

Passo 4

Aplicando a identidade na nossa soma, temos:
sumi=2^18 Ci^2 = C19^3
Ou seja, a soma de todas as combinações de 2 elementos desde até é igual a .

Passo 5

Agora, vamos calcular C19^3 = 19!3!(19-3)! = 19 times 18 times 173 times 2 times 1 = 58146 = 969 . Usando a fórmula dos coeficientes binomiais:

Resposta

A expressão é igual a 969. Portanto, a opção correta é a letra b) 969.

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