Suponha que estejamos interessados em estimar a porcentagem de consumidores de certo produto. Se uma amostra de 300 forneceu 100 indivíduos que consomem o dado produto, determine:
a) Um intervalo com 95 % de confiança para a proporção populacional de consumidores do produto. (Interprete o resultado).
b) O tamanho da amostra para que o erro da estimativa não exceda a 2 % com probabilidade de 99 %. (Interprete o resultado).
c) Suponha que a empresa que fornece o produto afirme que a percentagem de consumidores do produto gira em torno de 40 %, pois segundo ele o produto é de excelente qualidade. Você desconfia da afirmação da empresa, pois considera os produtos ruins. A amostra retirada acima evidencia a sua suspeita, para um alpha=5 % ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou está na área de estatística, mais especificamente em estimativa de proporções, intervalos de confiança, tamanho de amostra e teste de hipóteses. Vamos precisar usar fórmulas de intervalo de confiança para proporções, cálculo de tamanho de amostra para estimativas precisas e realizar um teste de hipótese para verificar a afirmação da empresa. Vamos resolver as partes a), b) e c) passo a passo.

Passo 2

Parte a) Intervalo de Confiança de 95% para a Proporção Populacional

Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança. Um intervalo de confiança nos dá uma faixa de valores na qual acreditamos que a proporção verdadeira da população está, com um certo nível de confiança (nesse caso, 95%).
Dados fornecidos:
  • Tamanho da amostra ( n): 300
  • Número de consumidores na amostra ( x): 100
A proporção amostral ( p) é calculada por:
p = xn = 100300 = 13 approx 0,3333
Para calcular o intervalo de confiança, usamos a fórmula:
p pm Zalpha2 times raizp(1 - p)n
Onde:
  • Zalpha2 é o valor crítico da distribuição normal para 95% de confiança. Esse valor é aproximadamente 1,96.
Vamos calcular o erro padrão:
raiz0,3333 times (1 - 0,3333)300 = raiz0,3333 times 0,6667300 = raiz0,2222300 approx raiz0,0007407 approx 0,0272
Agora, calculamos a margem de erro:
1,96 times 0,0272 approx 0,0533
Portanto, o intervalo de confiança é:
0,3333 pm 0,0533 Rightarrow [0,2800, 0,3866]

Passo 3

Parte a) Interpretação do Intervalo de Confiança

Isso significa que estamos 95% confiantes de que a verdadeira proporção de consumidores do produto na população está entre 28,00% e 38,66%. Em outras palavras, se fizermos esse tipo de pesquisa várias vezes, cerca de 95% desses intervalos conteriam a verdadeira proporção.

Passo 4

Parte b) Tamanho da Amostra para um Erro Máximo de 2% com 99% de Confiança

Agora, queremos determinar o tamanho da amostra ( n) necessário para que o erro da estimativa não exceda 2% (0,02) com 99% de confiança.
A fórmula para calcular o tamanho da amostra é:
n = ( Zalpha2^2 times p(1 - p)E^2 )
Onde:
  • Zalpha2 para 99% de confiança é aproximadamente 2,576.
  • E é o erro máximo permitido, que é 0,02.
Antes de prosseguir, precisamos estimar p. Se não tivermos uma estimativa prévia, usamos 0,5 porque maximiza a variância e garante o tamanho de amostra maior.
Então:
n = ( 2,576^2 times 0,5 times 0,50,02^2 ) = 6,635 times 0,250,0004 = 1,658750,0004 = 4146,875
Arredondando, precisamos de 4147 indivíduos na amostra.

Passo 5

Parte b) Interpretação do Tamanho da Amostra

Isso significa que, para termos 99% de confiança de que a estimativa da proporção de consumidores está correta com um erro máximo de 2%, precisamos entrevistar pelo menos 4147 pessoas.

Passo 6

Parte c) Teste de Hipótese para a Afirmação da Empresa

A empresa afirma que a proporção de consumidores é de 40% ( p0 = 0,40). Você suspeita que isso não seja verdade. Vamos realizar um teste de hipótese com nível de significância alpha = 5%.
Hipóteses:
  • Hipótese nula ( H0): p = 0,40
  • Hipótese alternativa ( Ha): p neq 0,40
Usamos o teste Z para proporções:
Z = p - p0raizp0(1 - p0)n
Substituindo os valores:
Z = 0,3333 - 0,40raiz0,40 times 0,60300 = -0,0667raiz0,24300 = -0,0667raiz0,0008 = -0,06670,0283 approx -2,357
O valor crítico para um teste bicaudal com alpha = 5% é aproximadamente pm1,96.

Decisão:

  • Se |Z| > 1,96, rejeitamos H0.
  • Aqui, | -2,357 | = 2,357 > 1,96.

Passo 7

Parte c) Interpretação do Teste de Hipótese

Como o valor de Z calculado (-2,357) é menor que -1,96, rejeitamos a hipótese nula. Isso significa que há evidências estatísticas suficientes para duvidar da afirmação da empresa de que 40% da população consome o produto, com um nível de confiança de 95%.

Resposta

a) O intervalo de confiança de 95% para a proporção populacional de consumidores do produto é de 28,00% a 38,66%, indicando que estamos 95% confiantes de que a verdadeira proporção está dentro desse intervalo.
b) Para garantir que o erro da estimativa não exceda 2% com 99% de confiança, o tamanho necessário da amostra é de 4147 pessoas.
c) Com o nível de significância de 5%, os dados da amostra rejeitam a afirmação da empresa de que 40% da população consome o produto, sustentando a sua suspeita de que a verdadeira proporção é diferente.

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