Suponha que estejamos interessados em estimar a porcentagem de consumidores de certo produto. Se uma amostra de 300 forneceu 100 indivíduos que consomem o dado produto, determine:
a) Um intervalo com de confiança para a proporção populacional de consumidores do produto. (Interprete o resultado).
b) O tamanho da amostra para que o erro da estimativa não exceda a com probabilidade de . (Interprete o resultado).
c) Suponha que a empresa que fornece o produto afirme que a percentagem de consumidores do produto gira em torno de , pois segundo ele o produto é de excelente qualidade. Você desconfia da afirmação da empresa, pois considera os produtos ruins. A amostra retirada acima evidencia a sua suspeita, para um ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou está na área de estatística, mais especificamente em estimativa de proporções, intervalos de confiança, tamanho de amostra e teste de hipóteses. Vamos precisar usar fórmulas de intervalo de confiança para proporções, cálculo de tamanho de amostra para estimativas precisas e realizar um teste de hipótese para verificar a afirmação da empresa. Vamos resolver as partes a), b) e c) passo a passo.

Passo 2

Parte a) Intervalo de Confiança de 95% para a Proporção Populacional

Primeiro, vamos entender o que é um intervalo de confiança. Um intervalo de confiança nos dá uma faixa de valores na qual acreditamos que a proporção verdadeira da população está, com um certo nível de confiança (nesse caso, 95%).
Dados fornecidos:
  • Tamanho da amostra ( ): 300
  • Número de consumidores na amostra ( ): 100
A proporção amostral ( ) é calculada por:
Para calcular o intervalo de confiança, usamos a fórmula:
Onde:
  • é o valor crítico da distribuição normal para 95% de confiança. Esse valor é aproximadamente 1,96.
Vamos calcular o erro padrão:
Agora, calculamos a margem de erro:
Portanto, o intervalo de confiança é:

Passo 3

Parte a) Interpretação do Intervalo de Confiança

Isso significa que estamos 95% confiantes de que a verdadeira proporção de consumidores do produto na população está entre 28,00% e 38,66%. Em outras palavras, se fizermos esse tipo de pesquisa várias vezes, cerca de 95% desses intervalos conteriam a verdadeira proporção.

Passo 4

Parte b) Tamanho da Amostra para um Erro Máximo de 2% com 99% de Confiança

Agora, queremos determinar o tamanho da amostra ( ) necessário para que o erro da estimativa não exceda 2% (0,02) com 99% de confiança.
A fórmula para calcular o tamanho da amostra é:
Onde:
  • para 99% de confiança é aproximadamente 2,576.
  • é o erro máximo permitido, que é 0,02.
Antes de prosseguir, precisamos estimar . Se não tivermos uma estimativa prévia, usamos 0,5 porque maximiza a variância e garante o tamanho de amostra maior.
Então:
Arredondando, precisamos de 4147 indivíduos na amostra.

Passo 5

Parte b) Interpretação do Tamanho da Amostra

Isso significa que, para termos 99% de confiança de que a estimativa da proporção de consumidores está correta com um erro máximo de 2%, precisamos entrevistar pelo menos 4147 pessoas.

Passo 6

Parte c) Teste de Hipótese para a Afirmação da Empresa

A empresa afirma que a proporção de consumidores é de 40% ( ). Você suspeita que isso não seja verdade. Vamos realizar um teste de hipótese com nível de significância .
Hipóteses:
  • Hipótese nula ( ):
  • Hipótese alternativa ( ):
Usamos o teste Z para proporções:
Substituindo os valores:
O valor crítico para um teste bicaudal com é aproximadamente .

Decisão:

  • Se , rejeitamos .
  • Aqui, .

Passo 7

Parte c) Interpretação do Teste de Hipótese

Como o valor de calculado (-2,357) é menor que -1,96, rejeitamos a hipótese nula. Isso significa que há evidências estatísticas suficientes para duvidar da afirmação da empresa de que 40% da população consome o produto, com um nível de confiança de 95%.

Resposta

a) O intervalo de confiança de 95% para a proporção populacional de consumidores do produto é de 28,00% a 38,66%, indicando que estamos 95% confiantes de que a verdadeira proporção está dentro desse intervalo.
b) Para garantir que o erro da estimativa não exceda 2% com 99% de confiança, o tamanho necessário da amostra é de 4147 pessoas.
c) Com o nível de significância de 5%, os dados da amostra rejeitam a afirmação da empresa de que 40% da população consome o produto, sustentando a sua suspeita de que a verdadeira proporção é diferente.

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