Um fabricante de correntes sabe, por experiência própria, que a resistência à ruptura dessas correntes tem distribuição normal com média de 15,9 libras e desvio padrão de 2,4 libras. Uma modificação no processo de produção é introduzida. Levanta-se então uma amostra de 16 correntes fabricadas com o novo processo, obtendo-se resistência média de ruptura de 15 libras. Pode esse resultado significar que a resistência média à ruptura diminuiu ao nível de
? Resolver o mesmo problema para uma amostra de 64 correntes e mesma média amostral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre resistência à ruptura de correntes que segue uma distribuição normal. O fabricante quer saber se, após mudar o processo de produção, a resistência média diminuiu. Para resolver isso, vamos usar teste de hipótese e a distribuição normal. Precisamos calcular o valor da média amostral e comparar com o que a gente espera para ver se há uma diminuição significativa na resistência.
Passo 2
Primeiro, vamos formular as hipóteses. A hipótese nula (
) é que a resistência média continua a mesma, ou seja,
libras. A hipótese alternativa (
) é que a resistência média diminuiu, então
libras. Estamos fazendo um teste unilateral pois queremos saber se houve redução.
Passo 3
Agora, vamos determinar o nível de significância, que é de
ou
. Esse é o grau de confiança que aceitaremos para rejeitar a hipótese nula. Também vamos precisar do desvio padrão populacional (
libras) e do tamanho da amostra (
e depois
).
Passo 4
Vamos calcular o erro padrão da média, que nos diz o quanto a média amostral pode variar em relação à média populacional. A fórmula é:
Para
:
Para
:
Passo 5
Em seguida, vamos calcular o estatístico de teste (z) usando a fórmula:
Onde:
-
é a média amostral ( libras) -
é a média populacional ( libras)
Para
:
Para
:
Passo 6
Agora, vamos determinar o valor crítico para o teste unilateral com
. Consultando a tabela z, o valor crítico é aproximadamente
.
Passo 7
Vamos comparar o estatístico de teste com o valor crítico:
- Para
: que é maior que . Não rejeitamos a hipótese nula. - Para
: que é menor que . Rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Para a amostra de 16 correntes, o resultado
não é suficientemente extremo para rejeitar a hipótese de que a resistência média não diminuiu ao nível de 5%. Ou seja, não podemos concluir que a resistência média diminuiu.
Já para a amostra de 64 correntes, o resultado
é bastante extremo e nos permite rejeitar a hipótese nula, concluindo que a resistência média à ruptura diminuiu ao nível de 5%.