Um fabricante de correntes sabe, por experiência própria, que a resistência à ruptura dessas correntes tem distribuição normal com média de 15,9 libras e desvio padrão de 2,4 libras. Uma modificação no processo de produção é introduzida. Levanta-se então uma amostra de 16 correntes fabricadas com o novo processo, obtendo-se resistência média de ruptura de 15 libras. Pode esse resultado significar que a resistência média à ruptura diminuiu ao nível de 5 % ? Resolver o mesmo problema para uma amostra de 64 correntes e mesma média amostral.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um exercício sobre resistência à ruptura de correntes que segue uma distribuição normal. O fabricante quer saber se, após mudar o processo de produção, a resistência média diminuiu. Para resolver isso, vamos usar teste de hipótese e a distribuição normal. Precisamos calcular o valor da média amostral e comparar com o que a gente espera para ver se há uma diminuição significativa na resistência.

Passo 2

Primeiro, vamos formular as hipóteses. A hipótese nula ( ) é que a resistência média continua a mesma, ou seja, libras. A hipótese alternativa ( ) é que a resistência média diminuiu, então libras. Estamos fazendo um teste unilateral pois queremos saber se houve redução.

Passo 3

Agora, vamos determinar o nível de significância, que é de ou . Esse é o grau de confiança que aceitaremos para rejeitar a hipótese nula. Também vamos precisar do desvio padrão populacional ( libras) e do tamanho da amostra ( e depois ).

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão da média, que nos diz o quanto a média amostral pode variar em relação à média populacional. A fórmula é:
Erro Padrão = sigmaraizn ã
Para Erro Padrão = 2,4raiz16 = 2,44 = 0,6 :
Erro Padrão = 2,4raiz64 = 2,48 = 0,3 ã
Para :
ã

Passo 5

Em seguida, vamos calcular o estatístico de teste (z) usando a fórmula:
z = barx - muErro Padrão ã
Onde:
  • z = 15 - 15,90,6 = -0,90,6 = -1,5 é a média amostral ( z = 15 - 15,90,3 = -0,90,3 = -3 libras)
  • é a média populacional ( libras)
Para :
Para :

Passo 6

Agora, vamos determinar o valor crítico para o teste unilateral com . Consultando a tabela z, o valor crítico é aproximadamente .

Passo 7

Vamos comparar o estatístico de teste com o valor crítico:
  • Para : que é maior que . Não rejeitamos a hipótese nula.
  • Para : que é menor que . Rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Para a amostra de 16 correntes, o resultado não é suficientemente extremo para rejeitar a hipótese de que a resistência média não diminuiu ao nível de 5%. Ou seja, não podemos concluir que a resistência média diminuiu.
Já para a amostra de 64 correntes, o resultado é bastante extremo e nos permite rejeitar a hipótese nula, concluindo que a resistência média à ruptura diminuiu ao nível de 5%.

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