A ingestão de um medicamento adormece o paciente. O tempo decorrido entre a ingestão do medicamento e o adormecimento em minutos é distribuído normalmente com sigma=10 min. Uma amostra de 25 pacientes submetidos ao tratamento com o remédio é formada. Observou-se que sumi=1^25 xi=1.375 min. Construir em IC para mu, com limites mu1 e mu2(mu1, de forma que seja observada a seguinte especificação: à desconfiança que mu seja menor que mu1, atribuiremos o nível de 5 %, enquanto à desconfiança que mu>mu2, atribuiremos o nível de 10 %. Obs.: IC com limites assimétricos.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um remédio que faz os pacientes dormirem, e o tempo que leva para isso acontecer segue uma distribuição normal com desvio padrão sigma = 10 minutos. Tiramos uma amostra de 25 pacientes e a soma dos tempos foi 1375 minutos. Queremos construir um intervalo de confiança (IC) para a média mu desse tempo, com limites assimétricos. Isso significa que vamos ter um nível de confiança diferente para cada lado do intervalo: 5% de desconfiança para mu ser menor que o limite inferior mu1, e 10% de desconfiança para mu ser maior que o limite superior mu2.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média da amostra, que é essencial para construir o intervalo de confiança. A média barx é dada pela soma dos tempos dividida pelo número de pacientes.
barx = sumi=1^25 xi25 = 137525 = 55 minutos

Passo 3

Agora, precisamos entender que, como a distribuição é normal e conhecemos o desvio padrão da população, podemos usar a distribuição normal padrão para calcular os limites do intervalo de confiança. A fórmula geral para o intervalo de confian��a quando a variância é conhecida é:
barx pm z ( sigmaraizn )
Onde:
  • barx é a média da amostra,
  • z é o valor crítico da distribuição normal,
  • sigma é o desvio padrão da população,
  • n é o tamanho da amostra.

Passo 4

Precisamos determinar os valores críticos z correspondentes aos níveis de desconfiança dados. Para o limite inferior mu1, a desconfiança é de 5%, o que significa que queremos o valor de z tal que 5% da distribuição está à esquerda dele. Para o limite superior mu2, a desconfiança é de 10%, então buscamos o valor de z onde 10% da distribuição está à direita.
Consultando a tabela da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos:
  • Para 5% à esquerda, z0.05 approx -1.645
  • Para 10% à direita, z0.10 approx 1.282

Passo 5

Agora, aplicamos esses valores críticos na fórmula do intervalo de confiança para encontrar mu1 e mu2.
Primeiro, calculamos o erro padrão (EP):
EP = sigmaraizn = 10raiz25 = 105 = 2
Para mu1:
mu1 = barx + z0.05 times EP = 55 + (-1.645) times 2 = 55 - 3.29 = 51.71 minutos
Para mu2:
mu2 = barx + z0.10 times EP = 55 + 1.282 times 2 = 55 + 2.564 = 57.56 minutos

Resposta

O intervalo de confiança assimétrico para a média mu é mu1 = 51.71 minutos e mu2 = 57.56 minutos, ou seja:
51.71 min < mu < 57.56 min

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