Um pesquisador deseja estabelecer o peso médio dos jovens entre 14 e 20 anos. Apesar de desconhecer a média e o desvio padrão populacional, sabe por literatura da área que a distribuição dos pesos é aproximadamente normal. Retira-se uma amostra casual simples de 60 jovens obtendo peso médio de 67 kg e desvio padrão de 9 kg .
a) Ao nível de 5 % de significância, estabelecer um IC para o peso médio populacional.
b) Qual o tamanho da amostra que o pesquisador deveria tomar para ter uma probabilidade de 95 % de certeza de cometer um erro de, no máximo, 1,5 kg ?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um pesquisador que quer descobrir o peso médio dos jovens entre 14 e 20 anos. Ele tirou uma amostra de 60 jovens, com média de 67 kg e desvio padrão de 9 kg. A distribuição dos pesos é aproximadamente normal. Vamos usar conceitos de Intervalo de Confiança e Cálculo de Tamanho de Amostra para resolver as partes a) e b).

Passo 2

Parte a): Queremos estabelecer um intervalo de confiança de 95% para o peso médio populacional. Como a amostra é grande (n = 60) e a distribuição é normal, podemos usar a distribuição z para calcular o intervalo de confiança.

Passo 3

Para calcular o intervalo de confiança, usamos a fórmula:
IC = barx pm zalpha/2 times ( sraizn )
Onde:
  • barx = 67 kg (média da amostra)
  • s = 9 kg (desvio padrão da amostra)
  • n = 60 (tamanho da amostra)
  • zalpha/2 = 1,96 (valor crítico para 95% de confiança)

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão:
Erro padrão = 9raiz60 approx 97,746 approx 1,162 kg ã
Agora, calculamos a margem de erro:
Mar>=m de erro = 1,96 times 1,162 approx 2,275 kg

Passo 5

Finalmente, estabelecemos o intervalo de confiança:
IC = 67 pm 2,275
Ou seja:
IC = [64,725 kg, 69,275 kg]

Passo 6

Parte b): Queremos saber qual o tamanho da amostra necessário para ter 95% de certeza de que o erro máximo será de no máximo 1,5 kg. Usaremos a fórmula para o tamanho da amostra:
n = ( zalpha/2 times sE )^2
Onde:
  • zalpha/2 = 1,96 (para 95% de confiança)
  • s = 9 kg (desvio padrão)
  • E = 1,5 kg (erro máximo permitido)

Passo 7

Substituindo os valores na fórmula:
n = ( 1,96 times 91,5 )^2 = ( 17,641,5 )^2 approx (11,76)^2 approx 138,2976
Como não podemos ter uma fração de pessoa na amostra, arredondamos para cima:
n approx 139

Resposta

a) O intervalo de confiança de 95% para o peso médio populacional é entre 64,73 kg e 69,28 kg.
b) O pesquisador deve coletar uma amostra de pelo menos 139 jovens para garantir que o erro seja, no máximo, 1,5 kg com 95% de certeza.

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