Um pesquisador deseja estabelecer o peso médio dos jovens entre 14 e 20 anos. Apesar de desconhecer a média e o desvio padrão populacional, sabe por literatura da área que a distribuição dos pesos é aproximadamente normal. Retira-se uma amostra casual simples de 60 jovens obtendo peso médio de 67 kg e desvio padrão de 9 kg .
a) Ao nível de
de significância, estabelecer um IC para o peso médio populacional.
b) Qual o tamanho da amostra que o pesquisador deveria tomar para ter uma probabilidade de
de certeza de cometer um erro de, no máximo,
?
a) Ao nível de
b) Qual o tamanho da amostra que o pesquisador deveria tomar para ter uma probabilidade de
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um pesquisador que quer descobrir o peso médio dos jovens entre 14 e 20 anos. Ele tirou uma amostra de 60 jovens, com média de 67 kg e desvio padrão de 9 kg. A distribuição dos pesos é aproximadamente normal. Vamos usar conceitos de Intervalo de Confiança e Cálculo de Tamanho de Amostra para resolver as partes a) e b).
Passo 2
Parte a): Queremos estabelecer um intervalo de confiança de 95% para o peso médio populacional. Como a amostra é grande (n = 60) e a distribuição é normal, podemos usar a distribuição z para calcular o intervalo de confiança.
Passo 3
Para calcular o intervalo de confiança, usamos a fórmula:
Onde:
-
kg (média da amostra) -
kg (desvio padrão da amostra) -
(tamanho da amostra) -
(valor crítico para 95% de confiança)
Passo 4
Vamos calcular o erro padrão:
Agora, calculamos a margem de erro:
Passo 5
Finalmente, estabelecemos o intervalo de confiança:
Ou seja:
Passo 6
Parte b): Queremos saber qual o tamanho da amostra necessário para ter 95% de certeza de que o erro máximo será de no máximo 1,5 kg. Usaremos a fórmula para o tamanho da amostra:
Onde:
-
(para 95% de confiança) -
kg (desvio padrão) -
kg (erro máximo permitido)
Passo 7
Substituindo os valores na fórmula:
Como não podemos ter uma fração de pessoa na amostra, arredondamos para cima:
Resposta
a) O intervalo de confiança de 95% para o peso médio populacional é entre 64,73 kg e 69,28 kg.
b) O pesquisador deve coletar uma amostra de pelo menos 139 jovens para garantir que o erro seja, no máximo, 1,5 kg com 95% de certeza.