Determine, usando diferencial, valores aproximados para: raiz(80, 4)

Passo 1

Beleza, vamos pegar esse problema: Determinar, usando diferencial, valores aproximados para: . Aqui a gente vai usar cálculo de diferenciais para encontrar uma aproximação. Precisamos entender como pequenas mudanças em afetam a função .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um número próximo a 80 que seja fácil de calcular a raiz quarta. Olha só, 81 é um bom candidato porque , já que .

Passo 3

Agora, vamos considerar que 80 é um pouquinho menor que 81. Então, podemos escrever , ou seja, estamos diminuindo 1 de 81 para chegar em 80.

Passo 4

A próxima coisa é calcular a derivada da função . Usando o cálculo, a derivada é:
Isso nos diz como a função muda quando muda um pouquinho.

Passo 5

Vamos calcular a derivada em :
Sabemos que , então:
Portanto,

Passo 6

Agora, usando diferenciais, a mudança aproximada na função quando muda de 81 para 80 ( ) é:

Passo 7

Então, a aproximação para é:

Resposta

Portanto, usando diferenciais, .

Exercícios relacionados

Sejam I1 ⊃ I2 ⊃ ... ⊃ In ⊃ ... intervalos limitados dois a dois distintos, cuja interseção I = interseccao(I_n) para n = 1 até infinito não é vazia. Prove que I é um intervalo, o qual nunca é aberto.
Um fabricante determinou que o custo de fazer x unidades de uma mercadoria é C(x) = 1800 + 25 x 0,2 x^2 + 0,001 x 3 e a função demanda é p(x) = 48,2 - 0,03 x. Estime o nível de produção que minimize o custo médio.
1
Sejam I um intervalo não-degenerado e k > 1 um número natural. Prove
que o conjunto dos números racionais m / k^n, cujos denominadores são potencias de k com expoente n in N, é denso em I.
Um fabricante determinou que o custo de fazer x unidades de uma mercadoria é C(x) = 1800 + 25 x 0,2 x^2 + 0,001 x 3 e a função demanda é p(x) = 48,2 - 0,03 x. Use o cálculo para achar o nível de produção para o lucro máximo.