Determine, usando diferencial, valores aproximados para: raiz(80, 4)

Passo 1

Beleza, vamos pegar esse problema: Determinar, usando diferencial, valores aproximados para: . Aqui a gente vai usar cálculo de diferenciais para encontrar uma aproximação. Precisamos entender como pequenas mudanças em afetam a função .

Passo 2

Primeiro, vamos escolher um número próximo a 80 que seja fácil de calcular a raiz quarta. Olha só, 81 é um bom candidato porque , já que .

Passo 3

Agora, vamos considerar que 80 é um pouquinho menor que 81. Então, podemos escrever , ou seja, estamos diminuindo 1 de 81 para chegar em 80.

Passo 4

A próxima coisa é calcular a derivada da função . Usando o cálculo, a derivada é:
Isso nos diz como a função muda quando muda um pouquinho.

Passo 5

Vamos calcular a derivada em :
Sabemos que , então:
Portanto,

Passo 6

Agora, usando diferenciais, a mudança aproximada na função quando muda de 81 para 80 ( ) é:

Passo 7

Então, a aproximação para é:

Resposta

Portanto, usando diferenciais, .

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