O tempo médio até a primeira falha de uma amostra aleatória de 200 discos rígidos fabricados acusou uma média de 2093 horas. A fábrica anuncia que o desvio padrão do tempo até a primeira falha dos seus discos é de 107 horas. Determine o intervalo de 95 % de confiança para todos os discos rígidos fabricados por essa empresa.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está dizendo que numa amostra de 200 discos rígidos, o tempo médio até a primeira falha foi de 2093 horas. A fábrica afirma que o desvio padrão desse tempo é de 107 horas. Nosso objetivo aqui é determinar o intervalo de confiança de 95% para todos os discos fabricados por essa empresa. Isso envolve conceitos de estatística, especificamente de intervalo de confiança para a média usando a distribuição normal, já que conhecemos o desvio padrão da população.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar qual é a fórmula para calcular o intervalo de confiança quando conhecemos o desvio padrão da população. A fórmula é:
barx pm Zalpha/2 ( sigmaraizn )
Onde:
  • é a média amostral.
  • é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado.
  • é o desvio padrão da população.
  • é o tamanho da amostra.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o valor de para um intervalo de confiança de 95%. Esse valor corresponde a quantos desvios padrão precisamos para cobrir os 95% centrais da distribuição normal.
Para 95% de confiança, é aproximadamente 1,96.

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão da média, que é dado por:
sigmaraizn = 107raiz200
Primeiro, calculamos raiz200 approx 14,14 :
10714,14 approx 7,56
Então:

Passo 5

Agora, multiplicamos o valor de 1,96 times 7,56 approx 14,80 pelo erro padrão para encontrar a margem de erro:

Passo 6

Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo a margem de erro da média amostral:
2093 - 14,80 = 2078,20
2093 + 14,80 = 2107,80

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para o tempo médio até a primeira falha dos discos rígidos fabricados por essa empresa é entre 2078,20 horas e 2107,80 horas.

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