Um grupo de praticantes de uma academia de musculação resolveu testar se as anilhas de 5 kg realmente possuem 5 kg . O grupo não sabe qual o desvio
padrão da população, mas percebeu que o desvio padrão amostral é de 0,05 kg e a média do peso das anilhas foi de 4,96 kg. Dado que o grupo utilizou uma amostra de 30 anilhas e supondo normalidade. É correto afirmar que essa amostra é proveniente de uma população em que a média é 5 kg ?

Passo 1

Então, galera! A gente tem um problema aqui: um pessoal da academia quer saber se as anilhas de 5 kg realmente pesam 5 kg. Eles mediram uma amostra de 30 anilhas e acharam que a média é 4,96 kg, com um desvio padrão de 0,05 kg. A pergunta é: será que essa amostra vem de uma população onde a média é realmente 5 kg? Vamos usar estatística para descobrir isso!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que precisamos fazer. Queremos verificar se a média das anilhas é significativamente diferente de 5 kg. Para isso, vamos usar um teste de hipótese. Como não sabemos o desvio padrão da população, vamos usar o teste t de Student.

Passo 3

Vamos definir nossas hipóteses:
  • Hipótese Nula (H₀): A média das anilhas é 5 kg.
    H0: mu = 5
  • Hipótese Alternativa (H₁): A média das anilhas não é 5 kg.
    H1: mu neq 5

Passo 4

Agora, vamos calcular o valor t usando a fórmula:
t = barx - mus / raizn
Onde:
  • $ \bar{x} = 4,96 $ kg (média da amostra)
  • $ \mu = 5 $ kg (média hipotética)
  • $ s = 0,05 $ kg (desvio padrão da amostra)
  • $ n = 30 $ (tamanho da amostra)
Substituindo os valores:
barx = 4,96

Passo 5

Vamos calcular o denominador primeiro:
raiz30 approx 5,477
Então,
0,05 / 5,477 approx 0,00913
Agora, o numerador:
4,96 - 5 = -0,04
Portanto,
t = -0,040,00913 approx -4,38

Passo 6

Com o valor de $ t \approx -4,38 $, precisamos comparar com o valor crítico da distribuição t para $ n - 1 = 29 $ graus de liberdade. Vamos usar um nível de confiança de 5% (α = 0,05) para um teste bicaudal.
Consultando a tabela t, o valor crítico para 29 graus de liberdade e α = 0,025 em cada cauda é aproximadamente 2,045.

Passo 7

Como o valor absoluto de t (4,38) é maior que o valor crítico (2,045), rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Não, a amostra não é proveniente de uma população com média igual a 5 kg, pois a diferença observada é estatisticamente significativa.

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