Um grupo de praticantes de uma academia de musculação resolveu testar se as anilhas de 5 kg realmente possuem 5 kg . O grupo não sabe qual o desvio
padrão da população, mas percebeu que o desvio padrão amostral é de
e a média do peso das anilhas foi de
. Dado que o grupo utilizou uma amostra de 30 anilhas e supondo normalidade. É correto afirmar que essa amostra é proveniente de uma população em que a média é 5 kg ?
padrão da população, mas percebeu que o desvio padrão amostral é de
Passo 1
Então, galera! A gente tem um problema aqui: um pessoal da academia quer saber se as anilhas de 5 kg realmente pesam 5 kg. Eles mediram uma amostra de 30 anilhas e acharam que a média é 4,96 kg, com um desvio padrão de 0,05 kg. A pergunta é: será que essa amostra vem de uma população onde a média é realmente 5 kg? Vamos usar estatística para descobrir isso!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que precisamos fazer. Queremos verificar se a média das anilhas é significativamente diferente de 5 kg. Para isso, vamos usar um teste de hipótese. Como não sabemos o desvio padrão da população, vamos usar o teste t de Student.
Passo 3
Vamos definir nossas hipóteses:
-
Hipótese Nula (H₀): A média das anilhas é 5 kg.
-
Hipótese Alternativa (H₁): A média das anilhas não é 5 kg.
Passo 4
Agora, vamos calcular o valor t usando a fórmula:
Onde:
- $ \bar{x} = 4,96 $ kg (média da amostra)
- $ \mu = 5 $ kg (média hipotética)
- $ s = 0,05 $ kg (desvio padrão da amostra)
- $ n = 30 $ (tamanho da amostra)
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos calcular o denominador primeiro:
Então,
Agora, o numerador:
Portanto,
Passo 6
Com o valor de $ t \approx -4,38 $, precisamos comparar com o valor crítico da distribuição t para $ n - 1 = 29 $ graus de liberdade. Vamos usar um nível de confiança de 5% (α = 0,05) para um teste bicaudal.
Consultando a tabela t, o valor crítico para 29 graus de liberdade e α = 0,025 em cada cauda é aproximadamente 2,045.
Passo 7
Como o valor absoluto de t (4,38) é maior que o valor crítico (2,045), rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Não, a amostra não é proveniente de uma população com média igual a 5 kg, pois a diferença observada é estatisticamente significativa.