Um fabricante de lâmpadas de led, afirma que o tempo de vida útil de um dos seus produtos, voltado para industria automobilística, têm duração normal com média de 200.000 horas e desvio padrão de 44.000 horas. Qual a probabilidade de que uma lâmpada, escolhida ao acaso, dure:
© mais de 220.000 horas?

Passo 1

Beleza, então a gente tem um problema sobre a duração das lâmpadas de LED de um fabricante. A média de vida útil das lâmpadas é de 200.000 horas, com um desvio padrão de 44.000 horas, e a distribuição é normal. A gente precisa encontrar a probabilidade de uma lâmpada escolhida ao acaso durar mais de 220.000 horas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição normal e estatística, especialmente o cálculo de probabilidades usando o z-score.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a distribuição normal. É uma distribuição de probabilidade simétrica em torno da média, onde a maioria dos valores se concentra próximos à média, e a probabilidade diminui conforme nos afastamos dela. Aqui, a média ( mu) é 200.000 horas e o desvio padrão ( sigma) é 44.000 horas.

Passo 3

Agora, queremos achar a probabilidade de uma lâmpada durar mais de 220.000 horas. Para isso, vamos transformar esse valor em um z-score, que nos diz quantos desvios padrões o valor está acima ou abaixo da média. A fórmula para o z-score é:
z = X - musigma
Onde:
  • X é o valor que queremos (220.000 horas)
  • mu é a média (200.000 horas)
  • sigma é o desvio padrão (44.000 horas)

Passo 4

Vamos calcular o z-score:
z = 220.000 - 200.00044.000 = 20.00044.000 approx 0,4545
Então, o z-score é aproximadamente 0,4545.

Passo 5

Com o z-score, podemos usar uma tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora para encontrar a probabilidade de um valor ser menor que 220.000 horas. A tabela nos dá a área à esquerda do z-score. Para z = 0,4545, a probabilidade acumulada é cerca de 0,6759 (ou 67,59%).

Passo 6

Mas a gente quer a probabilidade de durar mais de 220.000 horas, então precisamos calcular a área à direita desse z-score. Fazemos isso subtraindo a probabilidade acumulada de 1:
P(X > 220.000) = 1 - P(X <= 220.000) = 1 - 0,6759 = 0,3241

Resposta

A probabilidade de uma lâmpada durar mais de 220.000 horas é de aproximadamente 32,41%.

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