Um fabricante de lâmpadas de led, afirma que o tempo de vida útil de um dos seus produtos, voltado para industria automobilística, têm duração normal com média de 200.000 horas e desvio padrão de 44.000 horas. Qual a probabilidade de que uma lâmpada, escolhida ao acaso, dure:
(g) A fabrica substitui uma lâmpada que apresentar defeito antes do fim da garantia. Assim qual deve ser tempo de garantia para que menos de 1 % das lâmpadas sejam substituídas?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos conta que uma fábrica de lâmpadas de LED afirma que a vida útil dessas lâmpadas segue uma distribuição normal com média de 200.000 horas e desvio padrão de 44.000 horas. A pergunta pede para descobrir qual deve ser o tempo de garantia para que menos de 1% das lâmpadas sejam substituídas por defeito. Ou seja, queremos encontrar um tempo de garantia tal que apenas 1% das lâmpadas falhem antes desse tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de estatística relacionados à distribuição normal e probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que estamos lidando com uma distribuição normal, que é uma distribuição simétrica em forma de sino, onde a maioria dos valores se concentra em torno da média, e as probabilidades de valores extremos diminuem conforme nos afastamos da média. Aqui, a média (μ) é 200.000 horas e o desvio padrão (σ) é 44.000 horas.

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar o tempo de garantia (W) tal que a probabilidade de uma lâmpada falhar antes desse tempo seja de 1%. Matematicamente, queremos:
P(T < W) = 0,01
Onde $ T $ é o tempo de vida útil da lâmpada.

Passo 4

Para encontrar esse valor, vamos usar a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora estatística para achar o z-score correspondente a uma probabilidade de 1% no lado esquerdo da curva. O z-score é o número de desvios padrão que um valor está afastado da média.
Consultando a tabela ou usando uma função inversa de distribuição normal, encontramos que:
z approx -2,326

Passo 5

Agora, usamos a fórmula para converter o z-score de volta para o valor original na distribuição:
W = mu + z times sigma
Substituindo os valores conhecidos:
W = 200.000 + (-2,326) times 44.000

Passo 6

Fazendo o cálculo:
W = 200.000 - (2,326 times 44.000)
W = 200.000 - 102.344
W approx 97.656 horas

Resposta

O tempo de garantia deve ser de aproximadamente 98.000 horas para que menos de 1% das lâmpadas sejam substituídas por defeito.

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