Um novo tratamento foi usado em 10 pacientes. A chance de sucesso do tratamento é de 85 %. Obtenha a probabilidade de que a o tratamento seja bem-sucedida para:
© no mínimo 3 pacientes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um tratamento novo aplicado em 10 pacientes, e a chance de sucesso desse tratamento é de 85%. A pergunta é: qual a probabilidade de que pelo menos 3 pacientes sejam bem-sucedidos com esse tratamento? Para resolver isso, vamos usar a probabilidade binomial, que é perfeita para situações com um número fixo de tentativas independentes, cada uma com dois possíveis resultados (sucesso ou falha).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “pelo menos 3 pacientes”. Isso quer dizer que podem ser 3, 4, 5, até 10 pacientes que tiveram sucesso no tratamento. Para facilitar a conta, podemos calcular a probabilidade do contrário, ou seja, a probabilidade de menos que 3 pacientes terem sucesso (0, 1 ou 2), e depois subtrair isso de 1.

Passo 3

A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1-p)^n-k
Onde:
  • $ n $ é o número total de tentativas (no caso, 10 pacientes),
  • $ k $ é o número de sucessos que queremos calcular,
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma tentativa (85% ou 0,85),
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas formas podemos ter exatamente $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.

Passo 4

Vamos calcular $ P(X = 0) $, $ P(X = 1) $ e $ P(X = 2) $:
  1. Para $ k = 0 $:
P(X = 0)
  1. Para $ k = 1 $:
P(X = 1)
  1. Para $ k = 2 $:
P(X = 2)

Passo 5

Agora, somamos essas probabilidades para encontrar $ P(X \leq 2) $:
P(X <= 2)

Passo 6

Finalmente, para encontrar a probabilidade de pelo menos 3 pacientes terem sucesso, subtraímos esse valor de 1:
P(X >= 3) = 1 - P(X <= 2) approx 1 - 0,00008355 = 0,99991645

Resposta

A probabilidade de que pelo menos 3 pacientes tenham sucesso no tratamento é aproximadamente 99,99%.

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