Um fabricante modelou sua função P da produção anual (o valor monetário de toda a produção em milhões de dólares) como uma função de Cobb-Douglas
P(L, K) = 1,47 L^0,65 K^0,35
onde L é o número de horas trabalhadas (em milhares) e K é o capital investido (em milhões de dólares). Encontre P(120,20) e interprete-o.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente tem uma função de produção chamada de Cobb-Douglas, que é usada para modelar como diferentes fatores, como trabalho e capital, influenciam a produção de uma empresa. A função que a gente tem é:
Onde:
  • é a produção anual em milhões de dólares.
  • é o número de horas trabalhadas (em milhares).
  • é o capital investido (em milhões de dólares).
Nosso objetivo é encontrar o valor de e entender o que esse número representa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular . Isso quer dizer que estamos substituindo por 120 (mil horas trabalhadas) e por 20 (milhões de dólares investidos) na função de produção.
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos calcular cada parte dessa expressão passo a passo.
Primeiro, calculamos :
Em seguida, calculamos :

Passo 4

Agora, multiplicamos esses resultados pela constante da função:
Primeiro, multiplicamos 1,47 por 22,399:
Depois, multiplicamos esse resultado por 2,857:

Resposta

O valor de é aproximadamente 94,02 milhões de dólares. Isso significa que, com 120 mil horas trabalhadas e um investimento de 20 milhões de dólares em capital, a produção anual da empresa é estimada em cerca de 94,02 milhões de dólares.

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Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
lim (x, y) (0,0) x yraizx^2+y^2
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(a) Calcule f(1,1,1)
Determine e esboce o domínio da função.
f(x, y, z) = ln(16 - 4x^2 - 4y^2 - z^2)