Um fabricante modelou sua função
da produção anual (o valor monetário de toda a produção em milhões de dólares) como uma função de Cobb-Douglas
onde
é o número de horas trabalhadas (em milhares) e
é o capital investido (em milhões de dólares). Encontre
e interprete-o.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente tem uma função de produção chamada de Cobb-Douglas, que é usada para modelar como diferentes fatores, como trabalho e capital, influenciam a produção de uma empresa. A função que a gente tem é:
Onde:
-
é a produção anual em milhões de dólares. -
é o número de horas trabalhadas (em milhares). -
é o capital investido (em milhões de dólares).
Nosso objetivo é encontrar o valor de
e entender o que esse número representa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular
. Isso quer dizer que estamos substituindo
por 120 (mil horas trabalhadas) e
por 20 (milhões de dólares investidos) na função de produção.
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada parte dessa expressão passo a passo.
Primeiro, calculamos
:
Em seguida, calculamos
:
Passo 4
Agora, multiplicamos esses resultados pela constante da função:
Primeiro, multiplicamos 1,47 por 22,399:
Depois, multiplicamos esse resultado por 2,857:
Resposta
O valor de
é aproximadamente 94,02 milhões de dólares. Isso significa que, com 120 mil horas trabalhadas e um investimento de 20 milhões de dólares em capital, a produção anual da empresa é estimada em cerca de 94,02 milhões de dólares.
Exercícios relacionados
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Explique por que cada função é contínua ou descontínua.
(a) A temperatura externa como função da latitude, da longitude e do tempo.
(a) A temperatura externa como função da latitude, da longitude e do tempo.
Seja
.
(a) Calcule
(a) Calcule
Determine e esboce o domínio da função.