Determine e esboce o domínio da função.
f(x, y, z) = ln(16 - 4x^2 - 4y^2 - z^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar e desenhar o domínio da função . Isso está relacionado ao estudo das funções de várias variáveis, especificamente de onde a função está “valendo a pena”, ou seja, onde ela está bem definida.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o logaritmo natural, , só é definido para números positivos. Então, para que exista, o que está dentro do logaritmo tem que ser maior que zero:

Passo 3

Vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores permitidos de , e . Primeiro, reescrevemos a desigualdade:
Agora, dividimos todos os termos por 16 para simplificar:
Simplificando as frações:
Ou, de forma equivalente:

Passo 4

Essa última expressão representa a equação de um elipsoide no espaço tridimensional. Um elipsoide é uma superfície fechada que se parece com uma esfera alongada. Os denominadores em cada termo indicam os comprimentos dos semi-eixos:
  • para os eixos e
  • para o eixo
Então, o domínio da função é o interior desse elipsoide, ou seja, todos os pontos que estão dentro dessa forma geométrica.

Resposta

O domínio da função é o conjunto de todos os pontos que satisfazem a desigualdade
Este conjunto corresponde ao interior de um elipsoide centrado na origem com semi-eixos de comprimento 2 nas direções e , e 4 na direção .

Exercícios relacionados

Seja f(x, y, z) = raiz(x) + raiz(y) + raiz(z) + ln(4 - x^2 - y^2 - z^2).
(a) Calcule f(1,1,1)
Um fabricante modelou sua função P da produção anual (o valor monetário de toda a produção em milhões de dólares) como uma função de Cobb-Douglas
P(L, K) = 1,47 L^0,65 K^0,35
onde L é o número de horas trabalhadas (em milhares) e K é o capital investido (em milhões de dólares). Encontre P(120,20) e interprete-o.
Use um computador para investigar a família de funções f(x, y) = e^(c x^2 + y^2). De que maneira a forma do gráfico depende de c ?
Um modelo para a área da superfície de um corpo humano é dado pela função
S=f(w, h)=0,1091 w^0,425 h^0,725
onde w é o peso (em libras), h é a altura (em polegadas) e S é medida em pés quadrados.
(a) Encontre f(160, 70) e interprete-a.