Encontre o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado.
g(x) = x^4 - 8x^2 + 16, [-1, 4]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função chamada e o intervalo . A missão é descobrir qual é o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto dessa função dentro desse intervalo. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de cálculo, especificamente de derivadas para encontrar pontos críticos, e entender como avaliar a função nos extremos e nesses pontos para comparar os valores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o valor máximo e mínimo absoluto de uma função no intervalo dado. O valor máximo absoluto é o maior valor que a função alcança nesse intervalo, e o mínimo absoluto é o menor valor. Para encontrar esses valores, a gente precisa:
  1. Encontrar a derivada da função : Isso ajuda a identificar onde a função tem inclinações que mudam, ou seja, pontos críticos onde a função pode ter máximos ou mínimos locais.
  2. Encontrar os pontos críticos: Resolvendo , vamos achar os valores de onde a função pode ter esses pontos de máximo ou mínimo.
  3. Avaliar a função nos pontos críticos e nos extremos do intervalo: Comparando esses valores, conseguimos identificar qual é o maior e qual é o menor dentro do intervalo .

Passo 3

Vamos começar encontrando a derivada da função . A derivada de em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo a equação :
Isso nos dá:
No entanto, como estamos considerando o intervalo , os pontos críticos que interessam são e (porque está fora do intervalo).

Passo 5

Agora, vamos avaliar a função nos pontos críticos dentro do intervalo e também nos extremos do intervalo. Ou seja, vamos calcular , , e .
Calculando:

Passo 6

Agora, vamos analisar os valores que encontramos:
O valor máximo absoluto é o maior desses valores, que é 144, e o valor mínimo absoluto é o menor, que é 0.

Resposta

O valor máximo absoluto da função no intervalo é 144 e o valor mínimo absoluto é 0.

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