Encontre o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto da função dada no intervalo indicado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma função chamada
e o intervalo
. A missão é descobrir qual é o valor máximo absoluto e o valor mínimo absoluto dessa função dentro desse intervalo. Para isso, vamos precisar de conhecimentos de cálculo, especificamente de derivadas para encontrar pontos críticos, e entender como avaliar a função nos extremos e nesses pontos para comparar os valores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar o valor máximo e mínimo absoluto de uma função no intervalo dado. O valor máximo absoluto é o maior valor que a função alcança nesse intervalo, e o mínimo absoluto é o menor valor. Para encontrar esses valores, a gente precisa:
- Encontrar a derivada da função
: Isso ajuda a identificar onde a função tem inclinações que mudam, ou seja, pontos críticos onde a função pode ter máximos ou mínimos locais. - Encontrar os pontos críticos: Resolvendo
, vamos achar os valores de onde a função pode ter esses pontos de máximo ou mínimo. - Avaliar a função nos pontos críticos e nos extremos do intervalo: Comparando esses valores, conseguimos identificar qual é o maior e qual é o menor dentro do intervalo
.
Passo 3
Vamos começar encontrando a derivada da função
. A derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo a equação
:
Isso nos dá:
No entanto, como estamos considerando o intervalo
, os pontos críticos que interessam são
e
(porque
está fora do intervalo).
Passo 5
Agora, vamos avaliar a função
nos pontos críticos dentro do intervalo e também nos extremos do intervalo. Ou seja, vamos calcular
,
,
e
.
Calculando:
Passo 6
Agora, vamos analisar os valores que encontramos:
O valor máximo absoluto é o maior desses valores, que é 144, e o valor mínimo absoluto é o menor, que é 0.
Resposta
O valor máximo absoluto da função
no intervalo
é 144 e o valor mínimo absoluto é 0.