O fabricante de um xampu sabe que os consumidores gostam de que esses produtos espumem bastante. Uma amostra de tudos de tamanho foram selecionadas ao acaso e as alturas (em milímetros) observadas de espumas são dadas a seguir: e 196. Assuma que as alturas das espumas são normalmente distribuídas, ou seja, seguem uma distribuição normal. Encontre um intervalo de confiança de para a altura média verdadeira da espuma.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema pede. Temos uma amostra de tamanho com as alturas das espumas em milímetros: e . Queremos encontrar um intervalo de confiança de para a altura média verdadeira da espuma. Para isso, vamos usar estatística inferencial, especificamente o intervalo de confiança para a média quando a distribuição é normal e o desvio padrão não é conhecido, ou seja, utilizaremos a distribuição t de Student.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a média amostral ( ) das alturas das espumas. Somamos todos os valores e dividimos pelo número de observações.

Passo 3

Em seguida, calculamos o desvio padrão amostral ( ). Isso nos ajudará a entender a variação das alturas em relação à média.
Primeiro, calculamos cada diferença entre cada valor e a média, elevamos ao quadrado, somamos todas essas diferenças e dividimos pelo número de observações menos um.
Calculando:

Passo 4

Agora, determinamos o valor crítico da distribuição t de Student para um intervalo de confiança de com graus de liberdade.
Como o intervalo de confiança é bilateral, dividimos o nível de significância em duas partes iguais: em cada cauda. Consultando uma tabela de t ou usando uma calculadora, encontramos:

Passo 5

Finalmente, calculamos o intervalo de confiança usando a fórmula:
Substituindo os valores:

Resposta

O intervalo de confiança de para a altura média verdadeira da espuma é aproximadamente .

Exercícios relacionados

çú
Qual é a probabilidade de que o servidor use, pelo menos, um desses dois itens?
(b) Qual é a probabilidade de que o servidor não use nenhum dos dois?
© Qual é a probabilidade de que o servidor use apenas um dos dois itens?
(a) Qual é a probabilidade de que ambas as peças não sejam defeituosas?
(b) Qual é a probabilidade de que uma peça seja defeituosa e a outra não?
Um fabricante está interessado na voltagem de saída de um fornecimento de energia usado em um computador pessoal. A voltagem de saída é considerada normalmente distribuída, com desvio padrão igual a 0,30 volt. O fabricante deseja testar volts versus volts, usando unidades. A região de aceitação é . Encontre o valor de .
Um produtor fabrica eixos para um motor de automóvel. O desgaste ( 0,0001 polegada) dos eixos depois de 100.000 milhas é de interesse, visto que é provável ter um impacto nas reivindicações de garantia. Uma amostra aleatória de eixos é testada e . Sabe-se que e que o desgaste é normalmente distribuído. Teste (0,0001 polegada) versus ( 0,0001 polegada), usando .
Nota: Defina claramente qual é a variável aleatória do problema e o parâmetro que está sendo testado. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa de forma clara. Escreva a fórmula da estatística de teste utilizada, incluindo seu valor, caso o cálculo tenha sido feito diretamente em uma calculadora ou no computador. Desenhe a região de aceitação e rejeição do teste, considerando o nível de significância escolhido, e, por fim, apresente a conclusão do teste de hipótese no contexto do problema.