O fabricante de um xampu sabe que os consumidores gostam de que esses produtos espumem bastante. Uma amostra de tudos de tamanho
foram selecionadas ao acaso e as alturas (em milímetros) observadas de espumas são dadas a seguir:
e 196. Assuma que as alturas das espumas são normalmente distribuídas, ou seja, seguem uma distribuição normal. Encontre um intervalo de confiança de
para a altura média verdadeira da espuma.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema pede. Temos uma amostra de tamanho
com as alturas das espumas em milímetros:
e
. Queremos encontrar um intervalo de confiança de
para a altura média verdadeira da espuma. Para isso, vamos usar estatística inferencial, especificamente o intervalo de confiança para a média quando a distribuição é normal e o desvio padrão não é conhecido, ou seja, utilizaremos a distribuição t de Student.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a média amostral (
) das alturas das espumas. Somamos todos os valores e dividimos pelo número de observações.
Passo 3
Em seguida, calculamos o desvio padrão amostral (
). Isso nos ajudará a entender a variação das alturas em relação à média.
Primeiro, calculamos cada diferença entre cada valor e a média, elevamos ao quadrado, somamos todas essas diferenças e dividimos pelo número de observações menos um.
Calculando:
Passo 4
Agora, determinamos o valor crítico da distribuição t de Student para um intervalo de confiança de
com
graus de liberdade.
Como o intervalo de confiança é bilateral, dividimos o nível de significância
em duas partes iguais:
em cada cauda. Consultando uma tabela de t ou usando uma calculadora, encontramos:
Passo 5
Finalmente, calculamos o intervalo de confiança usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Resposta
O intervalo de confiança de
para a altura média verdadeira da espuma é aproximadamente
.