O fabricante de um xampu sabe que os consumidores gostam de que esses produtos espumem bastante. Uma amostra de tudos de tamanho n=10 foram selecionadas ao acaso e as alturas (em milímetros) observadas de espumas são dadas a seguir: 210,215,194,195,211,201,198,204,208 e 196. Assuma que as alturas das espumas são normalmente distribuídas, ou seja, seguem uma distribuição normal. Encontre um intervalo de confiança de 99,8 % para a altura média verdadeira da espuma.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema pede. Temos uma amostra de tamanho n=10 com as alturas das espumas em milímetros: 210, 215, 194,195,211,201,198,204,208 e 196. Queremos encontrar um intervalo de confiança de 99,8% para a altura média verdadeira da espuma. Para isso, vamos usar estatística inferencial, especificamente o intervalo de confiança para a média quando a distribuição é normal e o desvio padrão não é conhecido, ou seja, utilizaremos a distribuição t de Student.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a média amostral ( barx) das alturas das espumas. Somamos todos os valores e dividimos pelo número de observações.
barx = 210 + 215 + 194 + 195 + 211 + 201 + 198 + 204 + 208 + 19610 = 203210 = 203,2 mm

Passo 3

Em seguida, calculamos o desvio padrão amostral ( s). Isso nos ajudará a entender a variação das alturas em relação à média.
Primeiro, calculamos cada diferença entre cada valor e a média, elevamos ao quadrado, somamos todas essas diferenças e dividimos pelo número de observações menos um.
s = raizsum (xi - barx)^2n - 1
Calculando:
s = raiz(210-203,2)^2 + (215-203,2)^2 + dots + (196-203,2)^210 - 1 approx 7,57 mm

Passo 4

Agora, determinamos o valor crítico da distribuição t de Student para um intervalo de confiança de 99,8% com n - 1 = 9 graus de liberdade.
Como o intervalo de confiança é bilateral, dividimos o nível de significância alpha = 1 - 0,998 = 0,002 em duas partes iguais: 0,001 em cada cauda. Consultando uma tabela de t ou usando uma calculadora, encontramos:
talpha/2, df=9 approx 3,25

Passo 5

Finalmente, calculamos o intervalo de confiança usando a fórmula:
barx pm talpha/2 times sraizn
Substituindo os valores:
203,2 pm 3,25 times 7,57raiz10 approx 203,2 pm 3,25 times 2,392 approx 203,2 pm 7,78

Resposta

O intervalo de confiança de 99,8% para a altura média verdadeira da espuma é aproximadamente [195,42 mm, 210,98 mm].

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