Um produtor fabrica eixos para um motor de automóvel. O desgaste ( 0,0001 polegada) dos eixos depois de 100.000 milhas é de interesse, visto que é provável ter um impacto nas reivindicações de garantia. Uma amostra aleatória de
eixos é testada e
. Sabe-se que
e que o desgaste é normalmente distribuído. Teste
(0,0001 polegada) versus
( 0,0001 polegada), usando
.
Nota: Defina claramente qual é a variável aleatória do problema e o parâmetro que está sendo testado. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa de forma clara. Escreva a fórmula da estatística de teste utilizada, incluindo seu valor, caso o cálculo tenha sido feito diretamente em uma calculadora ou no computador. Desenhe a região de aceitação e rejeição do teste, considerando o nível de significância escolhido, e, por fim, apresente a conclusão do teste de hipótese no contexto do problema.
Nota: Defina claramente qual é a variável aleatória do problema e o parâmetro que está sendo testado. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa de forma clara. Escreva a fórmula da estatística de teste utilizada, incluindo seu valor, caso o cálculo tenha sido feito diretamente em uma calculadora ou no computador. Desenhe a região de aceitação e rejeição do teste, considerando o nível de significância escolhido, e, por fim, apresente a conclusão do teste de hipótese no contexto do problema.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente está falando sobre estatística, mais especificamente sobre teste de hipóteses. O problema envolve a análise do desgaste dos eixos de um motor de automóvel após 100.000 milhas. A gente quer saber se o desgaste médio é diferente de 3 (em unidades de 0,0001 polegadas). Para resolver isso, vamos precisar dos dados da amostra, do desvio padrão conhecido, e usar a distribuição normal para realizar o teste de hipóteses.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossa variável e o parâmetro que estamos testando. A variável aleatória aqui é o desgaste dos eixos após 100.000 milhas, que chamaremos de
. O parâmetro que estamos interessados é a média desse desgaste,
.
Passo 3
Agora, vamos estabelecer as hipóteses nula e alternativa. A hipótese nula (
) é a que diz que a média do desgaste é igual a 3, ou seja:
A hipótese alternativa (
) é que a média do desgaste é diferente de 3:
Passo 4
Vamos identificar os dados que temos:
- Tamanho da amostra (
): 16 - Média da amostra (
): 2,8 - Desvio padrão populacional (
): 0,4 - Nível de significância (
): 0,0232
Passo 5
Como o desvio padrão da população é conhecido e a distribuição é normal, vamos usar o teste z para comparar a média da amostra com a média hipotética.
A fórmula da estatística de teste z é:
Onde:
-
é a média da amostra -
é a média sob a hipótese nula -
é o desvio padrão populacional -
é o tamanho da amostra
Passo 6
Vamos calcular o valor de z usando os valores fornecidos:
Passo 7
Agora, precisamos determinar os valores críticos para o nosso teste. Como é um teste bicaudal (a hipótese alternativa é
), dividimos o nível de significância pela metade para cada cauda da distribuição.
Consultando uma tabela z, encontramos os valores críticos correspondentes a
, que são aproximadamente
.
Passo 8
Vamos comparar o valor calculado de z com os valores críticos:
- Se
for menor que -2,24 ou maior que 2,24, rejeitamos a hipótese nula. - Se
estiver entre -2,24 e 2,24, não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso,
, que está entre -2,24 e 2,24.
Passo 9
Como
está dentro da região de aceitação, não temos evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula.
Resposta
Não rejeitamos a hipótese nula. Não há evidências suficientes para afirmar que a média do desgaste dos eixos é diferente de 3 (0,0001 polegadas) ao nível de significância de 2,32%.