Um produtor fabrica eixos para um motor de automóvel. O desgaste ( 0,0001 polegada) dos eixos depois de 100.000 milhas é de interesse, visto que é provável ter um impacto nas reivindicações de garantia. Uma amostra aleatória de eixos é testada e . Sabe-se que e que o desgaste é normalmente distribuído. Teste (0,0001 polegada) versus ( 0,0001 polegada), usando .
Nota: Defina claramente qual é a variável aleatória do problema e o parâmetro que está sendo testado. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa de forma clara. Escreva a fórmula da estatística de teste utilizada, incluindo seu valor, caso o cálculo tenha sido feito diretamente em uma calculadora ou no computador. Desenhe a região de aceitação e rejeição do teste, considerando o nível de significância escolhido, e, por fim, apresente a conclusão do teste de hipótese no contexto do problema.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente está falando sobre estatística, mais especificamente sobre teste de hipóteses. O problema envolve a análise do desgaste dos eixos de um motor de automóvel após 100.000 milhas. A gente quer saber se o desgaste médio é diferente de 3 (em unidades de 0,0001 polegadas). Para resolver isso, vamos precisar dos dados da amostra, do desvio padrão conhecido, e usar a distribuição normal para realizar o teste de hipóteses.

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossa variável e o parâmetro que estamos testando. A variável aleatória aqui é o desgaste dos eixos após 100.000 milhas, que chamaremos de . O parâmetro que estamos interessados é a média desse desgaste, .

Passo 3

Agora, vamos estabelecer as hipóteses nula e alternativa. A hipótese nula ( ) é a que diz que a média do desgaste é igual a 3, ou seja:
A hipótese alternativa ( ) é que a média do desgaste é diferente de 3:

Passo 4

Vamos identificar os dados que temos:
  • Tamanho da amostra ( ): 16
  • Média da amostra ( ): 2,8
  • Desvio padrão populacional ( ): 0,4
  • Nível de significância ( ): 0,0232

Passo 5

Como o desvio padrão da população é conhecido e a distribuição é normal, vamos usar o teste z para comparar a média da amostra com a média hipotética.
A fórmula da estatística de teste z é:
Onde:
  • é a média da amostra
  • é a média sob a hipótese nula
  • é o desvio padrão populacional
  • é o tamanho da amostra

Passo 6

Vamos calcular o valor de z usando os valores fornecidos:

Passo 7

Agora, precisamos determinar os valores críticos para o nosso teste. Como é um teste bicaudal (a hipótese alternativa é ), dividimos o nível de significância pela metade para cada cauda da distribuição.
Consultando uma tabela z, encontramos os valores críticos correspondentes a , que são aproximadamente .

Passo 8

Vamos comparar o valor calculado de z com os valores críticos:
  • Se for menor que -2,24 ou maior que 2,24, rejeitamos a hipótese nula.
  • Se estiver entre -2,24 e 2,24, não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso, , que está entre -2,24 e 2,24.

Passo 9

Como está dentro da região de aceitação, não temos evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula.

Resposta

Não rejeitamos a hipótese nula. Não há evidências suficientes para afirmar que a média do desgaste dos eixos é diferente de 3 (0,0001 polegadas) ao nível de significância de 2,32%.

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Nota: Defina claramente qual é a variável aleatória do problema e o parâmetro que está sendo testado. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa de forma clara. Escreva a fórmula da estatística de teste utilizada, incluindo seu valor, caso o cálculo tenha sido feito diretamente em uma calculadora ou no computador. Desenhe a região de aceitação e rejeição do teste, considerando o nível de significância escolhido, e, por fim, apresente a conclusão do teste de hipótese no contexto do problema.