Um produtor fabrica eixos para um motor de automóvel. O desgaste ( 0,0001 polegada) dos eixos depois de 100.000 milhas é de interesse, visto que é provável ter um impacto nas reivindicações de garantia. Uma amostra aleatória de
eixos é testada e
. Sabe-se que
e que o desgaste é normalmente distribuído. Teste
(0,0001 polegada) versus
( 0,0001 polegada), usando
.
Nota: Defina claramente qual é a variável aleatória do problema e o parâmetro que está sendo testado. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa de forma clara. Escreva a fórmula da estatística de teste utilizada, incluindo seu valor, caso o cálculo tenha sido feito diretamente em uma calculadora ou no computador. Desenhe a região de aceitação e rejeição do teste, considerando o nível de significância escolhido, e, por fim, apresente a conclusão do teste de hipótese no contexto do problema.
Nota: Defina claramente qual é a variável aleatória do problema e o parâmetro que está sendo testado. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa de forma clara. Escreva a fórmula da estatística de teste utilizada, incluindo seu valor, caso o cálculo tenha sido feito diretamente em uma calculadora ou no computador. Desenhe a região de aceitação e rejeição do teste, considerando o nível de significância escolhido, e, por fim, apresente a conclusão do teste de hipótese no contexto do problema.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente está falando sobre estatística, mais especificamente sobre teste de hipóteses. O problema envolve a análise do desgaste dos eixos de um motor de automóvel após 100.000 milhas. A gente quer saber se o desgaste médio é diferente de 3 (em unidades de 0,0001 polegadas). Para resolver isso, vamos precisar dos dados da amostra, do desvio padrão conhecido, e usar a distribuição normal para realizar o teste de hipóteses.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossa variável e o parâmetro que estamos testando. A variável aleatória aqui é o desgaste dos eixos após 100.000 milhas, que chamaremos de
. O parâmetro que estamos interessados é a média desse desgaste,
.
Passo 3
Agora, vamos estabelecer as hipóteses nula e alternativa. A hipótese nula (
) é a que diz que a média do desgaste é igual a 3, ou seja:
A hipótese alternativa (
) é que a média do desgaste é diferente de 3:
Passo 4
Vamos identificar os dados que temos:
- Tamanho da amostra (
): 16 - Média da amostra (
): 2,8 - Desvio padrão populacional (
): 0,4 - Nível de significância (
): 0,0232
Passo 5
Como o desvio padrão da população é conhecido e a distribuição é normal, vamos usar o teste z para comparar a média da amostra com a média hipotética.
A fórmula da estatística de teste z é:
Onde:
-
é a média da amostra -
é a média sob a hipótese nula -
é o desvio padrão populacional -
é o tamanho da amostra
Passo 6
Vamos calcular o valor de z usando os valores fornecidos:
Passo 7
Agora, precisamos determinar os valores críticos para o nosso teste. Como é um teste bicaudal (a hipótese alternativa é
), dividimos o nível de significância pela metade para cada cauda da distribuição.
Consultando uma tabela z, encontramos os valores críticos correspondentes a
, que são aproximadamente
.
Passo 8
Vamos comparar o valor calculado de z com os valores críticos:
- Se
for menor que -2,24 ou maior que 2,24, rejeitamos a hipótese nula. - Se
estiver entre -2,24 e 2,24, não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso,
, que está entre -2,24 e 2,24.
Passo 9
Como
está dentro da região de aceitação, não temos evidências suficientes para rejeitar a hipótese nula.
Resposta
Não rejeitamos a hipótese nula. Não há evidências suficientes para afirmar que a média do desgaste dos eixos é diferente de 3 (0,0001 polegadas) ao nível de significância de 2,32%.
Exercícios relacionados
Um fabricante está interessado na voltagem de saída de um fornecimento de energia usado em um computador pessoal. A voltagem de saída é considerada normalmente distribuída, com desvio padrão igual a 0,30 volt. O fabricante deseja testar
volts versus
volts, usando
unidades. A região de aceitação é
. Encontre o valor de
.
O fabricante de um xampu sabe que os consumidores gostam de que esses produtos espumem bastante. Uma amostra de tudos de tamanho
foram selecionadas ao acaso e as alturas (em milímetros) observadas de espumas são dadas a seguir:
e 196. Assuma que as alturas das espumas são normalmente distribuídas, ou seja, seguem uma distribuição normal. Encontre um intervalo de confiança de
para a altura média verdadeira da espuma.
Suponha que 1.000 consumidores sejam entrevistados e 850 declarem estar satisfeitos ou muito satisfeitos com os produtos e serviços de certa corporação. Teste a hipótese
versus
, com
. Nota: Defina claramente qual é a variável aleatória do problema e o parâmetro que está sendo testado. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa de forma clara. Escreva a fórmula da estatística de teste utilizada, incluindo seu valor, caso o cálculo tenha sido feito diretamente em uma calculadora ou no computador. Desenhe a região de aceitação e rejeição do teste, considerando o nível de significância escolhido, e, por fim, apresente a conclusão do teste de hipótese no contexto do problema.
Supercavitação é uma tecnologia de propulsão para veículos submarinos, que pode aumentar grandemente sua velocidade. Isso ocorre acima de aproximadamente 50 metros por segundo, quando a pressão cai o suficiente para permitir que a água se dissocie em vapor de água, formando uma bolha de gás atrás do veículo. Quando a bolha de gás envolve completamente o veículo, a supercavitação ocorre. Uma total de
testes foram conduzidos em um protótipo de um veículo submarino em um tanque, com uma velocidade média observada de
metros por segundo. Considere que a velocidade seja normalmente distribuída, com desvio-padrão conhecido
metros por segundo. Testes hipóteses
versus
, usando
.
Nota: Defina claramente qual é a variável aleatória do problema e o parâmetro que está sendo testado. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa de forma clara. Escreva a fórmula da estatística de teste utilizada, incluindo seu valor, caso o cálculo tenha sido feito diretamente em uma calculadora ou no computador. Desenhe a região de aceitação e rejeição do teste, considerando o nível de significância escolhido, e, por fim, apresente a conclusão do teste de hipótese no contexto do problema.
Nota: Defina claramente qual é a variável aleatória do problema e o parâmetro que está sendo testado. Estabeleça as hipóteses nula e alternativa de forma clara. Escreva a fórmula da estatística de teste utilizada, incluindo seu valor, caso o cálculo tenha sido feito diretamente em uma calculadora ou no computador. Desenhe a região de aceitação e rejeição do teste, considerando o nível de significância escolhido, e, por fim, apresente a conclusão do teste de hipótese no contexto do problema.