Faça as conversões de unidades: a) 1,4 km para mm . b) 400 segundos para minutos. c) 20 m / s para km / h. d) 5 mm (índice pluviométrico) para Litros / m^2
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Uma peça de uma máquina se move em um eixo conforme a função:
x(t)=t^3-4 t^2-3 t+18
Onde x é a posição em metros, e t é o tempo, em segundos. Determine as funções da velocidade v(t) e da aceleração a(t).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. Temos duas partes no exercício:
  1. Conversões de unidades: Vamos converter diferentes unidades de medida.
  2. Funções de velocidade e aceleração: A partir de uma função que mostra a posição de uma peça em função do tempo, vamos encontrar como essa peça está se movendo (velocidade) e como está mudando seu movimento (aceleração).
Para resolver isso, vamos precisar saber como converter unidades de medida e entender um pouco de cálculo básico, como derivadas.

Passo 2

Vamos começar com a primeira parte: Conversões de unidades.
a) Converter 1,4 km para mm
Então, a gente tem 1,4 quilômetros e quer transformar isso em milímetros. Primeiro, sabemos que:
  • 1 km = 1.000 metros
  • 1 metro = 1.000 milímetros
Então, para converter quilômetros para milímetros, multiplicamos por 1.000 duas vezes (porque passamos de km para m e depois de m para mm).
1,4, km times 1.000 = 1.400, m
1.400, m times 1.000 = 1.400.000, mm

Passo 3

b) Converter 400 segundos para minutos
Aqui, queremos transformar segundos em minutos. Sabemos que:
  • 1 minuto = 60 segundos
Então, para converter segundos para minutos, dividimos por 60.
400, s div 60 = 6,666, minutos
Podemos arredondar para duas casas decimais:
6,67, minutos

Passo 4

c) Converter 20 m/s para km/h
Agora, vamos transformar metros por segundo em quilômetros por hora. Sabemos que:
  • 1 m = 0,001 km
  • 1 hora = 3.600 segundos
Então, para converter m/s para km/h, multiplicamos por 3.6.
20, m/s times 3,6 = 72, km/h

Passo 5

d) Converter 5 mm (índice pluviométrico) para Litros/m²
O índice pluviométrico em mm diretamente corresponde a litros por metro quadrado. Isso porque 1 mm de chuva equivale a 1 litro de água por metro quadrado.
5, mm = 5, L/m² ²

Passo 6

Agora, vamos para a segunda parte do exercício: Determinar as funções de velocidade x(t) = t^3 - 4t^2 - 3t + 18 e aceleração a partir da função de posição dada:
Para encontrar a velocidade, precisamos derivar a posição em relação ao tempo. E para encontrar a aceleração, derivamos a velocidade.

Passo 7

Encontrando a função da velocidade v(t) = dxdt = ddt(t^3 - 4t^2 - 3t + 18)
A velocidade é a primeira derivada da posição em relação ao tempo. Então, derivamos ddt(t^3) = 3t^2 em relação a ddt(-4t^2) = -8t :
ddt(-3t) = -3
Calculando cada termo:
ddt(18) = 0
v(t) = 3t^2 - 8t - 3
Então, juntando tudo:

Passo 8

Encontrando a função da aceleração a(t) = dvdt = ddt(3t^2 - 8t - 3)
A aceleração é a primeira derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição. Então, derivamos ddt(3t^2) = 6t em relação a ddt(-8t) = -8 :
ddt(-3) = 0
Calculando cada termo:
a(t) = 6t - 8
Então, juntando tudo:

Resposta

a)
b)
c)
d) ²
Funções:
  • Velocidade:
  • Aceleração:

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