O vetor posição r de uma partícula em relação a um certo ponto tem um módulo de 3 m e a força F aplicada à partícula tem um módulo de 4 N. Qual é o ângulo entre r e F se o módulo do torque associado é igual a (a) zero e (b) 12 N cdot m ?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um vetor posição r com módulo de 3,m e uma força F com módulo de 4,N. Queremos descobrir o ângulo entre r e F para dois casos diferentes de torque: quando o torque é zero e quando o torque é 12,N cdot m.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é torque e como ele se relaciona com os vetores posição e força. Vamos usar a fórmula do torque e aplicar trigonometria básica para encontrar o ângulo desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é torque. O torque tau mede a tendência de uma força causar rotação em torno de um ponto. Ele é dado pelo produto vetorial entre o vetor posição r e a força F:
tau = r times F
O módulo do torque é calculado por:
|tau| = |r| cdot |F| cdot sin(theta)
Onde:
  • |tau| é o módulo do torque,
  • |r| é o módulo do vetor posição,
  • |F| é o módulo da força,
  • theta é o ângulo entre r e F.

Passo 3

Vamos resolver o caso (a), onde o torque é igual a zero.
Sabemos que:
|tau| = |r| cdot |F| cdot sin(theta) = 0
Para que o produto seja zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero. Como |r| = 3,m e |F| = 4,N são diferentes de zero, o que nos resta é que sin(theta) = 0.
sin(theta) = 0 acontece quando theta é 0^circ ou 180^circ.

Passo 4

Agora, vamos resolver o caso (b), onde o torque é igual a 12,N cdot m.
Usando a mesma fórmula:
|tau| = 3,m cdot 4,N cdot sin(theta) = 12,N cdot m
Simplificando:
12,N cdot m = 12,N cdot m cdot sin(theta)
Dividindo ambos os lados por 12,N cdot m:
sin(theta) = 1
A única solução para sin(theta) = 1 é theta = 90^circ.

Resposta

(a) Os ângulos são 0^circ e 180^circ;
(b) O ângulo é 90^circ.

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