Sendo
e
, Determine o produto escalar
e o produto vetorial
.
4
Um trem com uma velocidade constante de
se move na direção leste por
, depois em uma direção que faz um ângulo de
a leste com a direção norte por
e, finalmente, na direção oeste por mais
. Quais são (a) o módulo e (b) o ângulo da velocidade média do trem durante a viagem?
4
Um trem com uma velocidade constante de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre velocidade média! A gente tem que calcular tanto o módulo quanto o ângulo da velocidade média de um trem que faz três trechos diferentes de viagem. Para isso, vamos precisar entender como calcular a velocidade média considerando as direções e os tempos de cada trecho.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os trechos da viagem:
- Primeiro trecho: O trem vai para o leste a 60 km/h por 40 minutos.
- Segundo trecho: Muda a direção fazendo um ângulo de 50° a leste do norte e vai por 20 minutos.
- Terceiro trecho: Volta para o oeste a 60 km/h por 50 minutos.
Vamos calcular o deslocamento em cada trecho para depois somar tudo e encontrar a velocidade média.
Passo 3
Para cada trecho, precisamos calcular a distância percorrida. Como a velocidade é constante, a distância
é dada por:
Onde:
-
-
é o tempo em horas.
Convertendo os tempos de minutos para horas:
- 40 minutos =
- 20 minutos =
- 50 minutos =
Calculando as distâncias:
- Primeiro trecho:
Direção: Leste.
- Segundo trecho:
Direção: 50° a leste do norte.
- Terceiro trecho:
Direção: Oeste.
Passo 4
Agora, vamos decompor cada deslocamento em componentes no eixo leste (
) e norte (
).
- Primeiro trecho (Leste):
- Segundo trecho (50° a leste do norte):
- Terceiro trecho (Oeste):
Passo 5
Vamos somar as componentes
e
de todos os trechos para encontrar o deslocamento total:
Passo 6
Com o deslocamento total nas direções
e
, podemos calcular o vetor deslocamento total
:
Passo 7
Agora, a velocidade média
é o deslocamento total dividido pelo tempo total da viagem.
Primeiro, vamos somar os tempos:
Então:
Passo 8
(a) Módulo da Velocidade Média:
Para encontrar o módulo, usamos:
(b) Ângulo da Velocidade Média:
Para encontrar o ângulo
em relação ao leste:
Resposta
(a) O módulo da velocidade média é aproximadamente 7,58 km/h.
(b) O ângulo da velocidade média em relação ao leste é de aproximadamente 67,5° a norte.
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Faça as conversões de unidades: a)
para mm . b) 400 segundos para minutos. c)
para
d) 5 mm (índice pluviométrico) para Litros
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c) para
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2
Uma peça de uma máquina se move em um eixo conforme a função:
2
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.
Em um certo instante, a força
age sobre um objeto de
cujo vetor posição é
e cujo vetor velocidade é
. Em relação à origem e em termos dos vetores unitários, quais são (a) o momento angular do objeto e (b) o torque que age sobre o objeto?