Sendo e , Determine o produto escalar e o produto vetorial .
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Um trem com uma velocidade constante de se move na direção leste por , depois em uma direção que faz um ângulo de a leste com a direção norte por e, finalmente, na direção oeste por mais . Quais são (a) o módulo e (b) o ângulo da velocidade média do trem durante a viagem?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre velocidade média! A gente tem que calcular tanto o módulo quanto o ângulo da velocidade média de um trem que faz três trechos diferentes de viagem. Para isso, vamos precisar entender como calcular a velocidade média considerando as direções e os tempos de cada trecho.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os trechos da viagem:
  1. Primeiro trecho: O trem vai para o leste a 60 km/h por 40 minutos.
  2. Segundo trecho: Muda a direção fazendo um ângulo de 50° a leste do norte e vai por 20 minutos.
  3. Terceiro trecho: Volta para o oeste a 60 km/h por 50 minutos.
Vamos calcular o deslocamento em cada trecho para depois somar tudo e encontrar a velocidade média.

Passo 3

Para cada trecho, precisamos calcular a distância percorrida. Como a velocidade é constante, a distância é dada por:
Onde:
  • é o tempo em horas.
Convertendo os tempos de minutos para horas:
  • 40 minutos =
  • 20 minutos =
  • 50 minutos =
Calculando as distâncias:
  1. Primeiro trecho:
Direção: Leste.
  1. Segundo trecho:
Direção: 50° a leste do norte.
  1. Terceiro trecho:
Direção: Oeste.

Passo 4

Agora, vamos decompor cada deslocamento em componentes no eixo leste ( ) e norte ( ).
  1. Primeiro trecho (Leste):
  1. Segundo trecho (50° a leste do norte):
  1. Terceiro trecho (Oeste):

Passo 5

Vamos somar as componentes e de todos os trechos para encontrar o deslocamento total:

Passo 6

Com o deslocamento total nas direções e , podemos calcular o vetor deslocamento total :

Passo 7

Agora, a velocidade média é é o deslocamento total dividido pelo tempo total da viagem.
Primeiro, vamos somar os tempos:
Então:
é

Passo 8

(a) Módulo da Velocidade Média:
Para encontrar o módulo, usamos:
é
(b) Ângulo da Velocidade Média:
Para encontrar o ângulo em relação ao leste:

Resposta

(a) O módulo da velocidade média é aproximadamente 7,58 km/h.
(b) O ângulo da velocidade média em relação ao leste é de aproximadamente 67,5° a norte.

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2
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