Sendo a=1 imath-2 jmath+3 k e b=(-4,+5,-6), Determine o produto escalar a b e o produto vetorial a x b.
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Um trem com uma velocidade constante de 60,0 km / h se move na direção leste por 40,0 min, depois em uma direção que faz um ângulo de 50,0^circ a leste com a direção norte por 20,0 min e, finalmente, na direção oeste por mais 50,0 min. Quais são (a) o módulo e (b) o ângulo da velocidade média do trem durante a viagem?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre velocidade média! A gente tem que calcular tanto o módulo quanto o ângulo da velocidade média de um trem que faz três trechos diferentes de viagem. Para isso, vamos precisar entender como calcular a velocidade média considerando as direções e os tempos de cada trecho.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os trechos da viagem:
  1. Primeiro trecho: O trem vai para o leste a 60 km/h por 40 minutos.
  2. Segundo trecho: Muda a direção fazendo um ângulo de 50° a leste do norte e vai por 20 minutos.
  3. Terceiro trecho: Volta para o oeste a 60 km/h por 50 minutos.
Vamos calcular o deslocamento em cada trecho para depois somar tudo e encontrar a velocidade média.

Passo 3

Para cada trecho, precisamos calcular a distância percorrida. Como a velocidade é constante, a distância d = v times t é dada por:
d1 = 60, km/h times 23, h = 40, km
Onde:
  • d2 = 60, km/h times 13, h = 20, km
  • d3 = 60, km/h times 0,833, h approx 50, km é o tempo em horas.
Convertendo os tempos de minutos para horas:
  • 40 minutos =
  • 20 minutos =
  • 50 minutos =
Calculando as distâncias:
  1. Primeiro trecho:
Direção: Leste.
  1. Segundo trecho:
Direção: 50° a leste do norte.
  1. Terceiro trecho:
Direção: Oeste.

Passo 4

Agora, vamos decompor cada deslocamento em componentes no eixo leste ( x1 = 40, km, y1 = 0, km ) e norte ( x2 = 20 times sin(50°) approx 20 times 0,7660 approx 15,32, km ).
  1. Primeiro trecho (Leste):
y2 = 20 times cos(50°) approx 20 times 0,6428 approx 12,86, km
  1. Segundo trecho (50° a leste do norte):
x3 = -50, km, y3 = 0, km
  1. Terceiro trecho (Oeste):

Passo 5

Vamos somar as componentes Deslocamento total em x: X = x1 + x2 + x3 = 40 + 15,32 - 50 = 5,32, km e Deslocamento total em y: Y = y1 + y2 + y3 = 0 + 12,86 + 0 = 12,86, km de todos os trechos para encontrar o deslocamento total:

Passo 6

Com o deslocamento total nas direções D = 5,32, imath + 12,86, jmath, km e , podemos calcular o vetor deslocamento total :

Passo 7

Agora, a velocidade média ttotal = 23 + 13 + 0,833 approx 0,6667 + 0,3333 + 0,833 approx 1,833, h é é o deslocamento total dividido pelo tempo total da viagem.
Primeiro, vamos somar os tempos:
vmédia = Dttotal = 5,32, imath + 12,86, jmath1,833 approx 2,90, imath + 7,01, jmath, km/h
Então:
é

Passo 8

(a) Módulo da Velocidade Média:
Para encontrar o módulo, usamos:
|vmédia| = raiz(2,90)^2 + (7,01)^2 approx raiz8,41 + 49,14 approx raiz57,55 approx 7,58, km/h é
(b) Ângulo da Velocidade Média:
Para encontrar o ângulo theta = tan^-1(7,012,90) approx tan^-1(2,42) approx 67,5° em relação ao leste:

Resposta

(a) O módulo da velocidade média é aproximadamente 7,58 km/h.
(b) O ângulo da velocidade média em relação ao leste é de aproximadamente 67,5° a norte.

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