Em um certo instante, a força age sobre um objeto de cujo vetor posição é e cujo vetor velocidade é . Em relação à origem e em termos dos vetores unitários, quais são (a) o momento angular do objeto e (b) o torque que age sobre o objeto?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos um objeto com massa de posicionado em e com velocidade . Além disso, uma força está atuando sobre ele. Queremos descobrir:
(a) O momento angular do objeto em relação à origem.
(b) O torque que está agindo sobre o objeto.
Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de momento angular ( ) e torque ( ), que envolvem produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento angular . A fórmula para o momento angular em relação à origem é:
Onde é o vetor posição e é o momento linear. O momento linear é dado por:
Então, vamos calcular :

Passo 3

Agora, com e calculados, vamos fazer o produto vetorial :
Lembrando que o produto vetorial entre dois vetores segue as regras:
E que o produto de dois vetores paralelos é zero.
Vamos calcular cada termo:
Somando todos os termos:
²

Passo 4

Agora, vamos calcular o torque . A fórmula para o torque é:
Onde é o vetor posição e é a força aplicada.
Vamos fazer o produto vetorial :
Vamos calcular cada termo:
Somando os termos:

Resposta

(a) O momento angular do objeto é ².
(b) O torque que age sobre o objeto é .

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