Em um certo instante, a força F=4 j N age sobre um objeto de 0,25 kg cujo vetor posição é r=(2 i-2 k) m e cujo vetor velocidade é v=(-5 i-5 k) m / s. Em relação à origem e em termos dos vetores unitários, quais são (a) o momento angular do objeto e (b) o torque que age sobre o objeto?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos um objeto com massa de posicionado em e com velocidade . Além disso, uma força está atuando sobre ele. Queremos descobrir:
(a) O momento angular do objeto em relação à origem.
(b) O torque que está agindo sobre o objeto.
Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de momento angular ( ) e torque ( ), que envolvem produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o momento angular L = r times p . A fórmula para o momento angular em relação à origem é:
p = m v
Onde p = 0,25 , kg times (-5i - 5k) , m/s = (-1,25i - 1,25k) , kg·m/s é o vetor posição e é o momento linear. O momento linear é dado por:
Então, vamos calcular :

Passo 3

Agora, com L = (2i - 2k) times (-1,25i - 1,25k) e i times j = k, j times k = i, k times i = j calculados, vamos fazer o produto vetorial 2i times (-1,25i) = 0 (porque i times i = 0) :
2i times (-1,25k) = 2 times (-1,25) times (i times k) = -2,5 times (-j) = 2,5j
Lembrando que o produto vetorial entre dois vetores -2k times (-1,25i) = -2 times (-1,25) times (k times i) = 2,5 times j = 2,5j segue as regras:
-2k times (-1,25k) = 0 (porque k times k = 0)
E que o produto de dois vetores paralelos é zero.
Vamos calcular cada termo:
L = 0 + 2,5j + 2,5j + 0 = 5j , kg·m²/s
Somando todos os termos:
²

Passo 4

Agora, vamos calcular o torque tau = r times F . A fórmula para o torque é:
tau = (2i - 2k) times 4j
Onde 2i times 4j = 8 (i times j) = 8k é o vetor posição e -2k times 4j = -8 (k times j) = -8(-i) = 8i é a força aplicada.
Vamos fazer o produto vetorial tau = 8k + 8i = 8i + 8k , N·m :
Vamos calcular cada termo:
Somando os termos:

Resposta

(a) O momento angular do objeto é ².
(b) O torque que age sobre o objeto é .

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