Faça a demonstração da equação da condução do calor em coordenada cartesiana (
, y e z) e após a dedução explique cada parcela do primeiro e segundo membro da equação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que demonstrar a equação da condução do calor nas coordenadas cartesianas (x, y, z). Isso faz parte do estudo de Transferência de Calor na física. Para resolver isso, vamos precisar entender como a temperatura varia no espaço e no tempo, e como o calor se propaga. Vamos seguir passo a passo para chegar na equação final.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a Lei de Fourier da condução de calor, que diz que o fluxo de calor é proporcional ao gradiente de temperatura. Em termos matemáticos, na direção x, isso fica:
Aqui,
é o fluxo de calor na direção x,
é a condutividade térmica, e
é a variação da temperatura em relação ao eixo x. O sinal negativo indica que o calor flui na direção oposta ao aumento da temperatura.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Lei da Conservação da Energia. A variação da energia térmica dentro de um volume é igual ao fluxo de calor que entra no volume menos o que sai, mais a geração de calor interno. Para um material homogêneo e sem geração interna de calor, isso fica:
Aqui,
é a densidade,
é a capacidade térmica específica,
é a variação da temperatura no tempo, e
é a divergência do vetor fluxo de calor.
Passo 4
Substituindo a expressão da Lei de Fourier na equação da conservação da energia, temos:
Expandindo a divergência em coordenadas cartesianas:
Passo 5
Organizando a equação, chegamos à Equação da Condução de Calor em coordenadas cartesianas:
Onde
é a difusividade térmica do material.
Resposta
A equação da condução do calor em coordenadas cartesianas (x, y, z) é:
Explicação das parcelas:
-
Primeiro membro (
): Representa a variação da temperatura no tempo. Indica como a temperatura muda em um ponto específico ao longo do tempo. -
Segundo membro:
-
: Difusividade térmica, que combina a condutividade térmica, a densidade e a capacidade térmica do material. Indica a rapidez com que o calor se espalha. -
: É o Laplaciano da temperatura, que mede a curvatura da distribuição de temperatura no espaço. Quanto maior essa soma, maior a taxa de mudança da temperatura no tempo devido à condução de calor.
-
Essa equação descreve como a temperatura se distribui e evolui em um meio devido à condução de calor nas três dimensões espaciais.