Faça a demonstração da equação da condução do calor em coordenada cartesiana ( x, y e z) e após a dedução explique cada parcela do primeiro e segundo membro da equação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que demonstrar a equação da condução do calor nas coordenadas cartesianas (x, y, z). Isso faz parte do estudo de Transferência de Calor na física. Para resolver isso, vamos precisar entender como a temperatura varia no espaço e no tempo, e como o calor se propaga. Vamos seguir passo a passo para chegar na equação final.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a Lei de Fourier da condução de calor, que diz que o fluxo de calor é proporcional ao gradiente de temperatura. Em termos matemáticos, na direção x, isso fica:
qx = -k partial Tpartial x
Aqui, é o fluxo de calor na direção x, é a condutividade térmica, e é a variação da temperatura em relação ao eixo x. O sinal negativo indica que o calor flui na direção oposta ao aumento da temperatura.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Lei da Conservação da Energia. A variação da energia térmica dentro de um volume é igual ao fluxo de calor que entra no volume menos o que sai, mais a geração de calor interno. Para um material homogêneo e sem geração interna de calor, isso fica:
rho c partial Tpartial t = -nabla cdot q
Aqui, é a densidade, é a capacidade térmica específica, é a variação da temperatura no tempo, e é a divergência do vetor fluxo de calor.

Passo 4

Substituindo a expressão da Lei de Fourier na equação da conservação da energia, temos:
rho c partial Tpartial t = nabla cdot (k nabla T)
Expandindo a divergência em coordenadas cartesianas:
rho c partial Tpartial t = k ( partial^2 Tpartial x^2 + partial^2 Tpartial y^2 + partial^2 Tpartial z^2 )

Passo 5

Organizando a equação, chegamos à Equação da Condução de Calor em coordenadas cartesianas:
partial Tpartial t = alpha ( partial^2 Tpartial x^2 + partial^2 Tpartial y^2 + partial^2 Tpartial z^2 )
Onde é a difusividade térmica do material.

Resposta

A equação da condução do calor em coordenadas cartesianas (x, y, z) é:
partial Tpartial t = alpha ( partial^2 Tpartial x^2 + partial^2 Tpartial y^2 + partial^2 Tpartial z^2 )
Explicação das parcelas:
  • Primeiro membro ( ): Representa a variação da temperatura no tempo. Indica como a temperatura muda em um ponto específico ao longo do tempo.
  • Segundo membro:
    • : Difusividade térmica, que combina a condutividade térmica, a densidade e a capacidade térmica do material. Indica a rapidez com que o calor se espalha.
    • : É o Laplaciano da temperatura, que mede a curvatura da distribuição de temperatura no espaço. Quanto maior essa soma, maior a taxa de mudança da temperatura no tempo devido à condução de calor.
Essa equação descreve como a temperatura se distribui e evolui em um meio devido à condução de calor nas três dimensões espaciais.

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