Encontre a área da região sombreada.

Passo 1

Beleza! A gente tem que encontrar a área da região sombreada definida pelas curvas e . Isso envolve geometria em coordenadas polares. Vamos precisar usar a fórmula da área entre duas curvas polares e descobrir onde essas curvas se interceptam.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas. A primeira curva, , é uma cardioide, uma forma que parece um coração. A segunda, , é uma rosa com 4 pétalas. Para encontrar a área entre elas, precisamos saber onde elas se cruzam, ou seja, os valores de onde .

Passo 3

Vamos resolver a equação . Subtraindo de ambos os lados, temos . Essa equação pode ser resolvida numericamente ou graficamente, mas para simplificar, vamos identificar os pontos de interseção observando os gráficos ou usando métodos numéricos.

Passo 4

Após analisar, descobrimos que as curvas se intersectam quando e . Esses serão nossos limites de integração para calcular a área entre as curvas.

Passo 5

A fórmula para a área entre duas curvas polares e , de a , é:
Aqui, e . Vamos substituir na fórmula.

Passo 6

Calculando e :
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:

Passo 8

Substituindo os limites de a e combinando tudo:
Simplificando:

Passo 9

Agora, substituímos :
Sabendo que:
Substituindo:

Passo 10

Avaliando o limite inferior :

Passo 11

Subtraindo o valor inferior do superior:

Passo 12

Multiplicando por para obter a área:

Resposta

A área da região sombreada é:

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