Encontre a área da região sombreada.
Passo 1
Beleza! A gente tem que encontrar a área da região sombreada definida pelas curvas e . Isso envolve geometria em coordenadas polares. Vamos precisar usar a fórmula da área entre duas curvas polares e descobrir onde essas curvas se interceptam.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas. A primeira curva, , é uma cardioide, uma forma que parece um coração. A segunda, , é uma rosa com 4 pétalas. Para encontrar a área entre elas, precisamos saber onde elas se cruzam, ou seja, os valores de
onde .
Passo 3
Vamos resolver a equação . Subtraindo
de ambos os lados, temos . Essa equação pode ser resolvida numericamente ou graficamente, mas para simplificar, vamos identificar os pontos de interseção observando os gráficos ou usando métodos numéricos.
Passo 4
Após analisar, descobrimos que as curvas se intersectam quando
e
. Esses serão nossos limites de integração para calcular a área entre as curvas.
Passo 5
A fórmula para a área entre duas curvas polares
e
, de
a
, é:
Aqui, e . Vamos substituir na fórmula.
Passo 6
Calculando
e
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos integrar termo a termo:
Passo 8
Substituindo os limites de
a
e combinando tudo:
Simplificando:
Passo 9
Agora, substituímos
:
Sabendo que:
Substituindo:
Passo 10
Avaliando o limite inferior
:
Passo 11
Subtraindo o valor inferior do superior:
Passo 12
Multiplicando por
para obter a área:
Resposta
A área da região sombreada é:
Exercícios relacionados
Encontre a área da região dentro de um laço da curva.
Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado: O sólido limitado pelo cilindro parabólico
e pelos planos
.
Faça um esboço das curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais:
.