Faça um esboço do gráfico das funções no espaço f(x, y) = -x^2 e g(x, y) = x^2 + y^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para fazermos um esboço dos gráficos das funções no espaço e . Isso faz parte da matéria de cálculo multivariável, onde estudamos superfícies no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como cada função se comporta em relação às variáveis e , e como isso se traduz no gráfico tridimensional.

Passo 2

Vamos começar com a função . Essa função depende apenas da variável , já que não há termo com . O que isso significa? Para cada valor de , o valor de vai ser sempre , independentemente do . Então, se imaginarmos isso no espaço 3D (com eixos , e ), essa função nos dá uma superfície onde, para cada , o é . Isso forma uma parábola que se abre para baixo ao longo do eixo , e essa forma é repetida em todas as direções ao longo do eixo . Em outras palavras, é um cilindro parabólico que se abre para baixo.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função . Aqui, tanto quanto influenciam o valor de . Para cada ponto , o valor de é a soma dos quadrados de e . No espaço 3D, isso resulta em uma superfície conhecida como paraboloide elíptico, que se abre para cima. À medida que nos afastamos da origem em qualquer direção no plano , o valor de aumenta, formando uma “tigela” parabólica.

Passo 4

Agora que entendemos as duas funções separadamente, vamos pensar em como esboçar seus gráficos juntos. A função é um cilindro parabólico que se estende ao longo do eixo e se abre para baixo. Já é um paraboloide que se abre para cima. Para esboçar ambos no mesmo gráfico:
  1. Desenhe os eixos , e .
  2. Para , desenhe uma parábola ao longo do eixo que se abre para baixo.
  3. Para , desenhe o paraboloide que se abre para cima, tocando a origem.
  4. Observe que onde e se encontram, elas se cruzam na origem.

Resposta

O esboço dos gráficos das funções e no espaço apresenta, respectivamente, um cilindro parabólico que se abre para baixo ao longo do eixo e um paraboloide elíptico que se abre para cima. Ao desenhá-los juntos, ambos se cruzam na origem, mostrando como essas superfícies se relacionam no espaço tridimensional.

Exercícios relacionados

Use o teorema de Lagrange para encontrar xi1 e xi2 conforme o caso:
(22.3) f(x, y) = (2x - y) / (2y + x) ; y in [0, 4] e x = 2
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
(e^(x+y) - y) dx + (x e^(x+y) + 1) dy = 0
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
(2 x + 1 / y - y / x^2) + (2 y + 1 / x - x / y^2) d y / d x = 0
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
-3y dx + 2x dy = 0, F(x, y) = y / x^4