Faça um esboço do gráfico das funções no espaço
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para fazermos um esboço dos gráficos das funções no espaço
e
. Isso faz parte da matéria de cálculo multivariável, onde estudamos superfícies no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar entender como cada função se comporta em relação às variáveis
e
, e como isso se traduz no gráfico tridimensional.
Passo 2
Vamos começar com a função
. Essa função depende apenas da variável
, já que não há termo com
. O que isso significa? Para cada valor de
, o valor de
vai ser sempre
, independentemente do
. Então, se imaginarmos isso no espaço 3D (com eixos
,
e
), essa função nos dá uma superfície onde, para cada
, o
é
. Isso forma uma parábola que se abre para baixo ao longo do eixo
, e essa forma é repetida em todas as direções ao longo do eixo
. Em outras palavras, é um cilindro parabólico que se abre para baixo.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
. Aqui, tanto
quanto
influenciam o valor de
. Para cada ponto
, o valor de
é a soma dos quadrados de
e
. No espaço 3D, isso resulta em uma superfície conhecida como paraboloide elíptico, que se abre para cima. À medida que nos afastamos da origem em qualquer direção no plano
, o valor de
aumenta, formando uma “tigela” parabólica.
Passo 4
Agora que entendemos as duas funções separadamente, vamos pensar em como esboçar seus gráficos juntos. A função
é um cilindro parabólico que se estende ao longo do eixo
e se abre para baixo. Já
é um paraboloide que se abre para cima. Para esboçar ambos no mesmo gráfico:
- Desenhe os eixos
, e . - Para
, desenhe uma parábola ao longo do eixo que se abre para baixo. - Para
, desenhe o paraboloide que se abre para cima, tocando a origem. - Observe que onde
e se encontram, elas se cruzam na origem.
Resposta
O esboço dos gráficos das funções
e
no espaço apresenta, respectivamente, um cilindro parabólico que se abre para baixo ao longo do eixo
e um paraboloide elíptico que se abre para cima. Ao desenhá-los juntos, ambos se cruzam na origem, mostrando como essas superfícies se relacionam no espaço tridimensional.
Exercícios relacionados
Use o teorema de Lagrange para encontrar
e
conforme o caso:
(22.3) e
(22.3)
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
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