Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
(2 x + 1 / y - y / x^2) + (2 y + 1 / x - x / y^2) d y / d x = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo:
Enunciado: Testar se a Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada é exata. Se não for, usar fatores integrantes ou outros métodos para torná-la exata. Depois, encontrar a solução da EDO e, se tiver uma condição inicial, determinar a solução particular.
Matéria envolvida: Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) exatas.
O que vamos precisar:
  • Conhecimento sobre EDOs exatas.
  • Como verificar a exatidão de uma EDO.
  • Encontrar fatores integrantes, se necessário.
  • Resolver a EDO para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções e na EDO dada que está na forma:
Na nossa EDO:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a EDO é exata. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a :
Calculando :
Calculando :

Passo 4

Agora, vamos comparar com :
Perceba que:
Isso significa que a EDO é exata!

Passo 5

Como a EDO é exata, sabemos que existe uma função potencial tal que:
Vamos encontrar .
Primeiro, integremos em relação a :
Integrando termo a termo:
áéçã
Portanto:

Passo 6

Agora, para encontrar , vamos usar a outra equação:
Calculando :
Igualando a :
Simplificando:
Integrando em relação a :
Onde é uma constante de integração.

Passo 7

Agora, substituímos na função potencial :
Para obter a solução geral da EDO, igualamos a uma constante :

Resposta

A solução geral da EDO é dada por:
Onde é uma constante arbitrária.

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Faça um esboço do gráfico das funções no espaço f(x, y) = -x^2 e g(x, y) = x^2 + y^2.
Use o teorema de Lagrange para encontrar xi1 e xi2 conforme o caso:
(22.3) f(x, y) = (2x - y) / (2y + x) ; y in [0, 4] e x = 2
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
-3y dx + 2x dy = 0, F(x, y) = y / x^4
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
cos(ω x) + ω sen(ω x) + e^x dy/dx = 0, y(0) = 1