Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo:
Enunciado: Testar se a Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada é exata. Se não for, usar fatores integrantes ou outros métodos para torná-la exata. Depois, encontrar a solução da EDO e, se tiver uma condição inicial, determinar a solução particular.
Matéria envolvida: Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) exatas.
O que vamos precisar:
- Conhecimento sobre EDOs exatas.
- Como verificar a exatidão de uma EDO.
- Encontrar fatores integrantes, se necessário.
- Resolver a EDO para encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na EDO dada que está na forma:
Na nossa EDO:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a EDO é exata. Para isso, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
:
Calculando
:
Calculando
:
Passo 4
Agora, vamos comparar
com
:
Perceba que:
Isso significa que a EDO é exata!
Passo 5
Como a EDO é exata, sabemos que existe uma função potencial
tal que:
Vamos encontrar
.
Primeiro, integremos
em relação a
:
Integrando termo a termo:
Portanto:
Passo 6
Agora, para encontrar
, vamos usar a outra equação:
Calculando
:
Igualando a
:
Simplificando:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 7
Agora, substituímos
na função potencial
:
Para obter a solução geral da EDO, igualamos
a uma constante
:
Resposta
A solução geral da EDO é dada por:
Onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Faça um esboço do gráfico das funções no espaço
e
.
Use o teorema de Lagrange para encontrar
e
conforme o caso:
(22.3) e
(22.3)
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.