Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial dada por
. Nosso objetivo é primeiro verificar se essa equação é exata. Se não for, vamos procurar um fator integrante para torná-la exata e, em seguida, encontrar a solução geral. Além disso, temos uma condição inicial
para achar a solução particular. Vamos precisar entender o que significa uma equação exata e como encontrar fatores integrantes.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação diferencial é exata. Uma EDO da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
.
Aqui, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, a equação NÃO é exata.
Passo 3
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que a torne exata. Vamos tentar encontrar um fator que dependa somente de
ou somente de
. Vamos supor que o fator integrante
depende apenas de
.
A condição para
ser um fator integrante é:
Substituindo os valores:
Parece complicado porque a expressão depende de
. Vamos tentar um fator integrante que dependa de
somente multiplicando a EDO original.
Outra abordagem é procurar um fator integrante do tipo
. Vamos multiplicar a EDO por
:
Agora, queremos que esta nova equação seja exata. Então, calculamos as derivadas parciais:
-
, então -
, então
Igualando as derivadas para a exatidão:
Então, o fator integrante é
.
Passo 4
Vamos multiplicar a EDO original pelo fator integrante
:
Agora, a equação é exata. Vamos encontrar a função potencial
tal que:
Integrando a primeira equação em relação a
:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos à segunda equação:
Então, a solução geral é:
Onde
é a constante de integração.
Rearranjando:
Podemos escrever simplesmente como:
Onde
é uma constante qualquer.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a solução particular usando a condição inicial
. Substituímos na solução geral:
Se precisar de um valor específico para
, dependerá de informações adicionais. Caso não haja mais dados, a solução particular é da forma
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é uma constante qualquer.
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Faça um esboço do gráfico das funções no espaço
e
.
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Calcule os seguintes limites usando o Teorema do Confronto:
b)
b)