Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
-3y dx + 2x dy = 0, F(x, y) = y / x^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação diferencial dada por . Nosso objetivo é primeiro verificar se essa equação é exata. Se não for, vamos procurar um fator integrante para torná-la exata e, em seguida, encontrar a solução geral. Além disso, temos uma condição inicial para achar a solução particular. Vamos precisar entender o que significa uma equação exata e como encontrar fatores integrantes.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação diferencial é exata. Uma EDO da forma é exata se a derivada parcial de M em relação a y for igual à derivada parcial de N em relação a x.
Aqui, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como , a equação NÃO é exata.

Passo 3

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que a torne exata. Vamos tentar encontrar um fator que dependa somente de x ou somente de y. Vamos supor que o fator integrante mu(x) depende apenas de x.
A condição para mu(x) ser um fator integrante é:
Substituindo os valores:
Parece complicado porque a expressão depende de y. Vamos tentar um fator integrante que dependa de x somente multiplicando a EDO original.
Outra abordagem é procurar um fator integrante do tipo . Vamos multiplicar a EDO por :
Agora, queremos que esta nova equação seja exata. Então, calculamos as derivadas parciais:
  • , então
  • , então
Igualando as derivadas para a exatidão:
Então, o fator integrante é .

Passo 4

Vamos multiplicar a EDO original pelo fator integrante :
Agora, a equação é exata. Vamos encontrar a função potencial tal que:
Integrando a primeira equação em relação a x:
Agora, derivamos em relação a y e igualamos à segunda equação:
Então, a solução geral é:
Onde C é a constante de integração.
Rearranjando:
Podemos escrever simplesmente como:
Onde K é uma constante qualquer.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a solução particular usando a condição inicial . Substituímos na solução geral:
Se precisar de um valor específico para K, dependerá de informações adicionais. Caso não haja mais dados, a solução particular é da forma .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde K é uma constante qualquer.

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Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
(2 x + 1 / y - y / x^2) + (2 y + 1 / x - x / y^2) d y / d x = 0
Faça um esboço do gráfico das funções no espaço f(x, y) = -x^2 e g(x, y) = x^2 + y^2.
Teste se as EDOs são exatas. Em caso negativo, use os fatores integrantes fornecidos ou ache por inspeção, ou utilize os teoremas estudados. Adicionalmente, encontre a solução da EDO e se uma condição inicial for dada, determine a solução particular.
cos(ω x) + ω sen(ω x) + e^x dy/dx = 0, y(0) = 1
Calcule os seguintes limites usando o Teorema do Confronto:
b) lim x 0 raiz[3]x 2^sen(1x^2)