Faça o esboço do gráfico das funções quadráticas a seguir indique o vértice da parábola e se existir os zeros das funções.
y= -x²+4
y = x² - 4x + 4
y= x² + 2x + 5​

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai desenhar o gráfico de funções quadráticas, identificar o vértice de cada parábola e verificar se existem os zeros dessas funções. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre como funcionam as funções do segundo grau e como identificar suas características principais, como o vértice e os zeros (raízes).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função quadrática tem a forma geral:
y = ax^2 + bx + c
O gráfico dessa função é uma parábola. O vértice da parábola é o ponto mais alto ou mais baixo, dependendo do coeficiente $ a $. Se $ a $ for negativo, a parábola abre para baixo, e o vértice é o ponto mais alto. Se $ a $ for positivo, a parábola abre para cima, e o vértice é o ponto mais baixo.
Para encontrar o vértice, usamos as fórmulas:
a
a
Depois de encontrar o vértice, podemos verificar se a parábola cruza o eixo $ x $ (esses pontos são os zeros da função) resolvendo a equação $ y = 0 $.
Vamos aplicar isso para cada função.

Passo 3

Primeira função:
y = -x^2 + 4
Aqui, $ a = -1 $, $ b = 0 $, e $ c = 4 $.
Vamos encontrar o vértice:
a = -1
b = 0
Então, o vértice é $ (0, 4) $.
Agora, para encontrar os zeros da função, resolvemos:
c = 4
xv = -02*(-1) = 0
yv = - (0)^2 + 4 = 4
(0, 4)
Então, os zeros são $ x = 2 $ e $ x = -2 $.

Passo 4

Segunda função:
y = x^2 - 4x + 4
Aqui, $ a = 1 $, $ b = -4 $, e $ c = 4 $.
Vamos encontrar o vértice:
a = 1
b = -4
Então, o vértice é $ (2, 0) $.
Agora, para encontrar os zeros da função, resolvemos:
c = 4
Podemos fatorar a equação:
xv = --42*1 = 42 = 2
Então,
yv = (2)^2 - 4*(2) + 4 = 4 - 8 + 4 = 0
Esse é um zero duplo, ou seja, a parábola toca o eixo $ x $ apenas no ponto $ x = 2 $.

Passo 5

Terceira função:
y = x^2 + 2x + 5
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 2 $, e $ c = 5 $.
Vamos encontrar o vértice:
a = 1
b = 2
Então, o vértice é $ (-1, 4) $.
Agora, para encontrar os zeros da função, resolvemos:
c = 5
Usando a fórmula de Bhaskara:
xv = -22*1 = -1
Como o discriminante ($ \Delta $) é negativo, não existem zeros reais para essa função. Isso significa que a parábola não cruza o eixo $ x $.

Resposta

  • Primeira função: Vértice em $ (0, 4) $ e zeros em $ x = 2 $ e $ x = -2 $.
  • Segunda função: Vértice em $ (2, 0) $ e zero único em $ x = 2 $.
  • Terceira função: Vértice em $ (-1, 4) $ e não possui zeros reais.

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