Faça um esboço gráfico das regiões a seguir
x^2-4 x+4-4 y>0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para fazer um esboço gráfico da região definida pela desigualdade . Vamos utilizar conceitos de equações quadráticas e desigualdades para resolver isso. Precisaremos reorganizar a equação para entender melhor a forma da curva e determinar quais áreas do gráfico satisfazem a desigualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a desigualdade para isolar x^2 - 4x + 4 - 4y > 0 . Começamos com:
x^2 - 4x + 4 > 4y
Vamos mover os termos que contêm y < x^2 - 4x + 44 para o lado direito:
y < 14x^2 - x + 1
Agora, dividimos ambos os lados por 4 para isolar :
Simplificando:
Assim, a desigualdade nos mostra que vamos trabalhar com uma parábola que abre para cima.

Passo 3

Vamos analisar a função quadrática xv = -b2a . Essa é uma parábola com coeficiente principal positivo ( xv = --12 times 14 = 112 = 2 ), o que significa que ela abre para cima. Para desenhar o esboço, precisamos encontrar o vértice da parábola.
O vértice de uma parábola yv = 14(2)^2 - 2 + 1 = 14(4) - 2 + 1 = 1 - 2 + 1 = 0 está em:
Substituindo e :
Para encontrar , substituímos na equação:
Então, o vértice é em .

Passo 4

Agora, vamos desenhar a parábola com vértice em . Como a parábola abre para cima, os valores de aumentam à medida que nos afastamos do vértice. A desigualdade indica que estamos interessados nas regiões onde é menor que os valores da parábola. Isso significa que vamos sombrear a área abaixo da parábola.

Resposta

O esboço gráfico da região é a área abaixo da parábola , com vértice em e abrindo para cima.

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