Seja
um espaço vetorial. Mostre que
para todo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o produto interno de qualquer vetor
no espaço vetorial
com o vetor zero
é igual a zero, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de produto interno e as propriedades do vetor zero nos espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um produto interno. É uma operação que pega dois vetores do espaço
e retorna um número real. Esse produto interno precisa satisfazer algumas propriedades, como:
- Linearidade:
para quaisquer vetores e escalares . - Simetria:
. - Positividade:
, e se e somente se é o vetor zero.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o vetor zero
no espaço vetorial
. Esse vetor tem a propriedade de que, quando somado a qualquer vetor
, ele não muda o vetor, ou seja,
. Além disso, para qualquer vetor
, temos
envolvendo o vetor zero.
Passo 4
Vamos aplicar a linearidade do produto interno. Sabemos que:
Para qualquer vetor
(já que
). Pela linearidade:
Portanto,
.
Resposta
Para todo
, temos
.
Exercícios relacionados
Seja V um conjunto não vazio.
a) Escreva a definição de espaço vetorial sobre .
a) Escreva a definição de espaço vetorial sobre
Em cada um dos itens abaixo determinar
.
com o produto interno usual,
.
Faça um esboço gráfico das regiões a seguir
Escrever a Equação Cartesiana da reta que passa pelo ponto
e paralela ao vetor
se
(a) e
;
(a)