Faça o esboço do sólido cujo volume é dado pela integral e calcule essa integral: integral0^4 integral0^2 pi integralr^4 r d z d theta d r R: 64 pi / 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para fazer o esboço de um sólido e calcular o volume dele usando uma integral tripla. A integral que a gente tem é:
integral0^4 integral0^2 pi integralr^4 r , dz , dtheta , dr
Vamos precisar usar coordenadas cilíndricas para resolver isso, já que os limites estão em termos de e . Coordenadas cilíndricas são ótimas para sólidos com simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração:
  • vai de 0 a 4.
  • vai de 0 a (uma volta completa ao redor do círculo).
  • vai de a 4.
Isso significa que para cada ponto no plano - , a altura começa no valor de e vai até 4.

Passo 3

Agora, vamos interpretar geometria do sólido. Como começa em e vai até 4, isso sugere que a parte inferior do sólido é uma superfície cônica (já que é a equação de um cone circular) e a parte superior é um plano horizontal .
Então, o sólido é a região acima do cone e abaixo do plano , com variando de 0 a 4 e cobrindo toda a circunferência devido a de 0 a .

Passo 4

Vamos calcular a integral para encontrar o volume:
V = integral0^4 integral0^2 pi integralr^4 r , dz , dtheta , dr
Vamos integrar passo a passo.

Passo 5

Primeiro, integramos em relação a integralr^4 r , dz = r [ z ]r^4 = r (4 - r) :

Passo 6

Agora, a integral fica:
V = integral0^4 integral0^2 pi r (4 - r) , dtheta , dr
Vamos integrar em relação a integral0^2 pi r (4 - r) , dtheta = r (4 - r) [ theta ]0^2pi = r (4 - r) cdot 2pi :

Passo 7

Agora, a integral se reduz a:
V = integral0^4 2pi r (4 - r) , dr
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
2pi r (4 - r) = 8pi r - 2pi r^2

Passo 8

Integramos termo a termo:
V = integral0^4 8pi r , dr - integral0^4 2pi r^2 , dr
Calculando cada integral:

Passo 9

Subtraindo os resultados:
V = 64pi - 128pi3 = 192pi3 - 128pi3 = 64pi3

Resposta

O volume do sólido é .

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