Faça o esboço do sólido cujo volume é dado pela integral e calcule essa integral:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para fazer o esboço de um sólido e calcular o volume dele usando uma integral tripla. A integral que a gente tem é:
Vamos precisar usar coordenadas cilíndricas para resolver isso, já que os limites estão em termos de
e
. Coordenadas cilíndricas são ótimas para sólidos com simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração:
-
vai de 0 a 4. -
vai de 0 a (uma volta completa ao redor do círculo). -
vai de a 4.
Isso significa que para cada ponto no plano
-
, a altura
começa no valor de
e vai até 4.
Passo 3
Agora, vamos interpretar geometria do sólido. Como
começa em
e vai até 4, isso sugere que a parte inferior do sólido é uma superfície cônica (já que
é a equação de um cone circular) e a parte superior é um plano horizontal
.
Então, o sólido é a região acima do cone
e abaixo do plano
, com
variando de 0 a 4 e cobrindo toda a circunferência devido a
de 0 a
.
Passo 4
Vamos calcular a integral para encontrar o volume:
Vamos integrar passo a passo.
Passo 5
Primeiro, integramos em relação a
:
Passo 6
Agora, a integral fica:
Vamos integrar em relação a
:
Passo 7
Agora, a integral se reduz a:
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Passo 8
Integramos termo a termo:
Calculando cada integral:
Passo 9
Subtraindo os resultados:
Resposta
O volume do sólido é
.