Faça o escalonamento completo do seguinte sistema:
c 2 x-y-3 z=1 -x+2 y-3 z=1 x+y+4 z=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de escalonamento, que faz parte da matéria de Álgebra Linear. O que a gente vai precisar aqui são operações com matrizes para transformar o sistema em uma forma mais fácil de resolver. Nosso objetivo é chegar em uma forma triangular, onde conseguimos resolver uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar o sistema de equações em uma matriz aumentada. Isso facilita visualizar as operações que vamos fazer. A matriz aumentada fica assim:
2 & -1 & -3 & | & 1 -1 & 2 & -3 & | & 1 1 & 1 & 4 & | & 1

Passo 3

Agora, vamos começar a escalonar a matriz. O primeiro passo é ter um 1 na primeira posição da primeira linha. Para isso, podemos dividir a primeira linha por 2:
1 & -12 & -32 & | & 12 -1 & 2 & -3 & | & 1 1 & 1 & 4 & | & 1

Passo 4

Com o 1 na primeira posição, vamos eliminar os números abaixo dele na primeira coluna. Para isso, vamos adicionar a primeira linha à segunda linha e subtrair a primeira linha da terceira linha.
  • Linha 2: (-1) + 1 = 0, 2 + (-12) = 32, -3 + (-32) = -92, 1 + 12 = 32
  • Linha 3: 1 - 1 = 0, 1 - (-12) = 32, 4 - (-32) = 112, 1 - 12 = 12
A matriz fica assim:
1 & -12 & -32 & | & 12 0 & 32 & -92 & | & 32 0 & 32 & 112 & | & 12

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos ter um 1 na posição (2,2). Para isso, vamos multiplicar a segunda linha por 23:
1 & -12 & -32 & | & 12 0 & 1 & -3 & | & 1 0 & 32 & 112 & | & 12

Passo 6

Com o 1 na posição (2,2), vamos eliminar o número acima e abaixo dele na segunda coluna.
  • Linha 1: Vamos somar 12 vezes a segunda linha à primeira.
    • 1 + 0 = 1
    • -12 + 12 times 1 = 0
    • -32 + 12 times (-3) = -32 - 32 = -3
    • 12 + 12 times 1 = 1
  • Linha 3: Vamos subtrair 32 vezes a segunda linha da terceira.
    • 0 - 0 = 0
    • 32 - 32 times 1 = 0
    • 112 - 32 times (-3) = 112 + 92 = 10
    • 12 - 32 times 1 = -1
A matriz agora fica:
1 & 0 & -3 & | & 1 0 & 1 & -3 & | & 1 0 & 0 & 10 & | & -1

Passo 7

Por fim, vamos escalar a terceira linha para que o elemento na posição (3,3) seja 1. Dividimos a terceira linha por 10:
1 & 0 & -3 & | & 1 0 & 1 & -3 & | & 1 0 & 0 & 1 & | & -110

Resposta

O sistema escalonado fica:
1 & 0 & -3 & | & 1 0 & 1 & -3 & | & 1 0 & 0 & 1 & | & -110

Exercícios relacionados

Determine, se existir, a inversa de cada matriz abaixo:
(b) A=(cc-1 & 2 2 & -4).
Dada a matriz A=(lll2 & 3 & 1 3 & 4 & 2 1 & 2 & 0),
(b) calcule A A^t.
Se A=(2,-1,1), B=(1,2,-1) e C=(2,-11,7) são três vetores em R^3, encontre escalares x e y tais que C=x A+y B.
Resolva o seguinte sistema linear
c x+2 y+z=1 y+2 z=-4 x+y+z=2
da seguinte maneira: encontre a inversa da matriz dos coeficientes. Utilize então este resultado para encontrar a solução do sistema.