da seguinte maneira: encontre a inversa da matriz dos coeficientes. Utilize então este resultado para encontrar a solução do sistema.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando matrizes! O que a gente tem aqui é um sistema com três equações e três incógnitas (x, y, z). A ideia é montar a matriz dos coeficientes, encontrar a sua inversa e depois usar essa inversa para encontrar os valores de x, y e z. Para isso, vamos precisar entender como encontrar a inversa de uma matriz e como multiplicar matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes do sistema. Olhando para as equações:
x + 2y + z = 1 y + 2z = -4 x + y + z = 2
A matriz dos coeficientes (A) é formada pelos números que estão na frente das incógnitas:
A = 1 & 2 & 1 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1
E o vetor das constantes (b) é:
b = 1 -4 2
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a inversa da matriz A, que vamos chamar de A^-1. Para isso, vamos calcular o determinante de A, que é essencial para saber se a inversa existe e para encontrá-la.
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
Como o determinante é diferente de zero (det(A) = 2), a matriz A tem inversa.
Passo 4
Para encontrar a inversa A^-1, vamos usar a fórmula:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A)
Onde adj(A) é a matriz adjunta, que é a transposta da matriz dos cofatores de A.
Primeiro, vamos encontrar a matriz dos cofatores. Cada elemento da matriz dos cofatores é calculado eliminando a linha e a coluna do elemento e calculando o determinante do menor resultante, multiplicado por (-1)^i+j.