Resolva o seguinte sistema linear
c x+2 y+z=1 y+2 z=-4 x+y+z=2
da seguinte maneira: encontre a inversa da matriz dos coeficientes. Utilize então este resultado para encontrar a solução do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando matrizes! O que a gente tem aqui é um sistema com três equações e três incógnitas ( x, y, z). A ideia é montar a matriz dos coeficientes, encontrar a sua inversa e depois usar essa inversa para encontrar os valores de x, y e z. Para isso, vamos precisar entender como encontrar a inversa de uma matriz e como multiplicar matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes do sistema. Olhando para as equações:
x + 2y + z = 1 y + 2z = -4 x + y + z = 2
A matriz dos coeficientes ( A) é formada pelos números que estão na frente das incógnitas:
A = 1 & 2 & 1 0 & 1 & 2 1 & 1 & 1
E o vetor das constantes ( b) é:
b = 1 -4 2

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inversa da matriz A, que vamos chamar de A^-1. Para isso, vamos calcular o determinante de A, que é essencial para saber se a inversa existe e para encontrá-la.
O determinante de uma matriz 3x3 é calculado assim:
det(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde:
A = a & b & c d & e & f g & h & i
Aplicando isso à nossa matriz:
det(A) = 1(1 cdot 1 - 2 cdot 1) - 2(0 cdot 1 - 2 cdot 1) + 1(0 cdot 1 - 1 cdot 1) = 1(1 - 2) - 2(0 - 2) + 1(0 - 1) = 1(-1) - 2(-2) + 1(-1) = -1 + 4 -1 = 2
Como o determinante é diferente de zero ( det(A) = 2), a matriz A tem inversa.

Passo 4

Para encontrar a inversa A^-1, vamos usar a fórmula:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A)
Onde adj(A) é a matriz adjunta, que é a transposta da matriz dos cofatores de A.
Primeiro, vamos encontrar a matriz dos cofatores. Cada elemento da matriz dos cofatores é calculado eliminando a linha e a coluna do elemento e calculando o determinante do menor resultante, multiplicado por (-1)^i+j.
Calculando os cofatores:
  • C11 = (-1)^1+1 cdot det1 & 2 1 & 1 = 1(1 cdot 1 - 2 cdot 1) = -1
  • C12 = (-1)^1+2 cdot det0 & 2 1 & 1 = -1(0 cdot 1 - 2 cdot 1) = 2
  • C13 = (-1)^1+3 cdot det0 & 1 1 & 1 = 1(0 cdot 1 - 1 cdot 1) = -1
  • C21 = (-1)^2+1 cdot det2 & 1 1 & 1 = -1(2 cdot 1 - 1 cdot 1) = -1
  • C22 = (-1)^2+2 cdot det1 & 1 1 & 1 = 1(1 cdot 1 - 1 cdot 1) = 0
  • C23 = (-1)^2+3 cdot det1 & 2 1 & 1 = -1(1 cdot 1 - 2 cdot 1) = 1
  • C31 = (-1)^3+1 cdot det2 & 1 1 & 2 = 1(2 cdot 2 - 1 cdot 1) = 3
  • C32 = (-1)^3+2 cdot det1 & 1 0 & 2 = -1(1 cdot 2 - 1 cdot 0) = -2
  • C33 = (-1)^3+3 cdot det1 & 2 0 & 1 = 1(1 cdot 1 - 2 cdot 0) = 1
Então, a matriz dos cofatores é:
Cof(A) = -1 & 2 & -1 -1 & 0 & 1 3 & -2 & 1
Agora, a matriz adjunta é a transposta da matriz dos cofatores:
adj(A) = -1 & -1 & 3 2 & 0 & -2 -1 & 1 & 1

Passo 5

Com a adjunta encontrada, podemos calcular a inversa A^-1:
A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) = 12 cdot -1 & -1 & 3 2 & 0 & -2 -1 & 1 & 1 = -0.5 & -0.5 & 1.5 1 & 0 & -1 -0.5 & 0.5 & 0.5

Passo 6

Agora que temos a inversa da matriz dos coeficientes, podemos encontrar a solução do sistema usando a fórmula:
x = A^-1 cdot b
Multiplicando A^-1 por b:
x = -0.5 & -0.5 & 1.5 1 & 0 & -1 -0.5 & 0.5 & 0.5 cdot 1 -4 2
Vamos fazer a multiplicação linha por coluna:
  • Para x:
(-0.5 cdot 1) + (-0.5 cdot -4) + (1.5 cdot 2) = -0.5 + 2 + 3 = 4.5
  • Para y:
(1 cdot 1) + (0 cdot -4) + (-1 cdot 2) = 1 + 0 -2 = -1
  • Para z:
(-0.5 cdot 1) + (0.5 cdot -4) + (0.5 cdot 2) = -0.5 -2 +1 = -1.5

Resposta

A solução do sistema é:
x = 4.5, y = -1, z = -1.5

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Faça o escalonamento completo do seguinte sistema:
c 2 x-y-3 z=1 -x+2 y-3 z=1 x+y+4 z=1
Dadas as matrizes A=(ll3 & 1 5 & 2) e B=(ll2 & 0 0 & 2), determine:
© (A^t)^-1;
Dadas as matrizes A=(ccc2 & 1 & 0 0 & 3 & -1 1 & 1 & 4), B=(lll1 & 1 & 0 0 & 2 & 2 1 & 0 & 2) e C=(cc3 & 5 7 & 10), calcule:
© 3(A+B) A^-1.