Calcule as integrais triplas:
, onde
é o conjunto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral tripla de
. O conjunto
onde vamos integrar é definido por algumas desigualdades em relação a
,
e
. O conteúdo aqui envolve integrais triplas, que são usadas para calcular volumes ou massas em espaços tridimensionais. Para resolver isso, vamos precisar entender os limites de integração para cada variável e aplicar as fórmulas de integração passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração definidos para o conjunto
:
Aqui,
varia de 0 a 2 e
varia de 0 a 20. Para cada valor de
e
,
varia de
a
.
Passo 3
Vamos reescrever a integral tripla com os limites de integração identificados:
Vamos resolver a integral em ordem: primeiro em relação a
, depois
, e por último
.
Passo 4
Vamos integrar a função
em relação a
de
a
:
A antiderivada de
é
e a de
é
. Então, substituímos os limites:
Passo 5
Vamos simplificar as expressões obtidas:
Para
:
Para
:
Portanto, a expressão completa fica:
Passo 6
Agora, temos que integrar essa expressão resultante em relação a
de 0 a 2:
Vamos integrar termo a termo:
Passo 7
Calculando cada uma das integrais:
-
Para
: Seja, então : -
Para
: Similarmente, -
Para
: -
Para
:
Passo 8
Substituindo os limites de 0 a 2:
Calculando para
:
E para
:
Portanto, a diferença é:
Passo 9
Simplificando a expressão:
Vamos expandir
e
:
Substituindo de volta:
Simplificando as frações:
Combining termos semelhantes:
Passo 10
Agora, integramos essa expressão em relação a
de 0 a 20:
Vamos integrar termo a termo:
Passo 11
Substituindo os limites de 0 a 20:
Calculando cada termo:
Somando tudo:
Portanto, o valor da integral é aproximadamente
.
Resposta
A integral tripla calculada é igual a aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Encontre os pontos máximos e mínimos (quando existirem) das funções a seguir:
Calcule as integrais triplas:
, onde
.
Encontre os pontos máximos e mínimos (quando existirem) das funções a seguir:
Faça o estudo de concavidade da função para
e utilizando o teste da derivada segunda, determine o tipo dos pontos críticos de
. (isto é, máx. local, mín. local ou nada)