Calcule as integrais triplas: integral triplaB x^2+x d x d y d z, onde B é o conjunto B=(x, y, z) in R^3 ; 2 y <= x <= z+y, 0 <= y <= 20 <= z <= 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral tripla de . O conjunto onde vamos integrar é definido por algumas desigualdades em relação a , e . O conteúdo aqui envolve integrais triplas, que são usadas para calcular volumes ou massas em espaços tridimensionais. Para resolver isso, vamos precisar entender os limites de integração para cada variável e aplicar as fórmulas de integração passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração definidos para o conjunto B = (x, y, z) in R^3 ; 2y <= x <= z + y, 0 <= y <= 2, 0 <= z <= 20 :
Aqui, varia de 0 a 2 e varia de 0 a 20. Para cada valor de e , varia de a .

Passo 3

Vamos reescrever a integral tripla com os limites de integração identificados:
integral triplaB (x^2 + x) , dx , dy , dz = integralz=0^20 integraly=0^2 integralx=2y^z + y (x^2 + x) , dx , dy , dz
Vamos resolver a integral em ordem: primeiro em relação a , depois , e por último .

Passo 4

Vamos integrar a função integralx=2y^z + y (x^2 + x) , dx em relação a [ x^33 + x^22 ]2y^z + y = ( (z + y)^33 + (z + y)^22 ) - ( (2y)^33 + (2y)^22 ) de a :
A antiderivada de é e a de é . Então, substituímos os limites:

Passo 5

Vamos simplificar as expressões obtidas:
Para (z + y)^33 + (z + y)^22 :
8y^33 + 4y^22 = 8y^33 + 2y^2
Para (z + y)^33 + (z + y)^22 - 8y^33 - 2y^2 :
Portanto, a expressão completa fica:

Passo 6

Agora, temos que integrar essa expressão resultante em relação a integraly=0^2 ( (z + y)^33 + (z + y)^22 - 8y^33 - 2y^2 ) dy de 0 a 2:
Vamos integrar termo a termo:

Passo 7

Calculando cada uma das integrais:
  1. Para 13 integral u^3 du = 13 cdot u^44 = (z + y)^412 :
    Seja 12 integral u^2 du = 12 cdot u^33 = (z + y)^36 , então 83 cdot y^44 = 2y^43 :
    2 cdot y^33 = 2y^33
  2. Para :
    Similarmente,
  3. Para :
  4. Para :

Passo 8

Substituindo os limites de 0 a 2:
[ (z + y)^412 + (z + y)^36 - 2y^43 - 2y^33 ]0^2
Calculando para (z + 2)^412 + (z + 2)^36 - 2(16)3 - 2(8)3 :
= (z + 2)^412 + (z + 2)^36 - 323 - 163
= (z + 2)^412 + (z + 2)^36 - 483
= (z + 2)^412 + (z + 2)^36 - 16
z^412 + z^36 - 0 - 0 = z^412 + z^36
E para ( (z + 2)^412 + (z + 2)^36 - 16 ) - ( z^412 + z^36 ) :
Portanto, a diferença é:

Passo 9

Simplificando a expressão:
(z + 2)^4 - z^412 + (z + 2)^3 - z^36 - 16
Vamos expandir (z + 2)^3 = z^3 + 6z^2 + 12z + 8 e (z + 2)^4 = z^4 + 8z^3 + 24z^2 + 32z + 16 :
(z^4 + 8z^3 + 24z^2 + 32z + 16) - z^412 + (z^3 + 6z^2 + 12z + 8) - z^36 - 16
= 8z^3 + 24z^2 + 32z + 1612 + 6z^2 + 12z + 86 - 16
Substituindo de volta:
= 8z^312 + 24z^212 + 32z12 + 1612 + 6z^26 + 12z6 + 86 - 16
= 2z^33 + 2z^2 + 8z3 + 43 + z^2 + 2z + 43 - 16
Simplificando as frações:
= 2z^33 + 3z^2 + 14z3 + 83 - 16
= 2z^33 + 3z^2 + 14z3 - 403
Combining termos semelhantes:

Passo 10

Agora, integramos essa expressão em relação a integralz=0^20 ( 2z^33 + 3z^2 + 14z3 - 403 ) dz de 0 a 20:
Vamos integrar termo a termo:

Passo 11

Substituindo os limites de 0 a 20:
[ 20^46 + 20^3 + 7 cdot 20^23 - 403 cdot 20 ] - [ 0 + 0 + 0 - 0 ]
Calculando cada termo:
  1. 266666 + 8000 + 9333 - 2666 = 266666 + 8000 = 346666
  2. 346666 + 9333 = 35600
  3. 35600 - 2666 = 353333
Somando tudo:
Portanto, o valor da integral é aproximadamente .

Resposta

A integral tripla calculada é igual a aproximadamente .

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