i) Faça o gráfico de cada função, sem plotar os pontos, mas começando com o gráfico de uma das funções padrões e então aplicando as transformações apropriadas. ii)Determine seus domínios e suas imagens e ache os pontos interceptos nos eixos x e no y. iii) Faça o estudo do comportamento de cada função.
Passo 1
Vamos resolver o exercício sobre a função quadrática
. O objetivo é:
- Fazer o gráfico da função aplicando transformações a uma função padrão.
- Determinar o domínio, a imagem e encontrar os pontos de interceptação com os eixos
e . - Estudar o comportamento da função.
Vamos precisar conhecer a função quadrática padrão
e entender como as transformações afetam o gráfico.
Passo 2
Grafico da Função
Começamos com a função padrão
, que é uma parábola com concavidade para cima e vértice na origem (0,0).
Passo 3
Aplicando as Transformações
A função dada é
. Vamos identificar as transformações aplicadas à função padrão:
- Translação Horizontal: O termo
indica uma translação 2 unidades para a esquerda. Então, o vértice se move de para . - Translação Vertical: O termo
fora do quadrado indica uma translação 1 unidade para baixo. Assim, o vértice final fica em .
Então, o gráfico da função
é uma parábola que abriu para cima, deslocada 2 unidades para a esquerda e 1 unidade para baixo em relação à função padrão
.
Passo 4
Domínio e Imagem
-
Domínio: Para qualquer função quadrática, o domínio é todos os números reais, ou seja:
-
Imagem (ou Contradomínio): Como a parábola abre para cima e seu vértice está em
, a menor valor de é . Portanto, a imagem é:
Passo 5
Interceptos com os Eixos
-
Intercepto com o Eixo
: É o valor de quando . Então, o intercepto é. -
Interceptos com o Eixo
: São os valores de para os quais . Resolvendo:Então, os interceptos com o eixosão e .
Passo 6
Estudo do Comportamento
-
Concavidade: Como o coeficiente de
é positivo ( ), a parábola é côncava para cima. -
Vértice: Já identificamos que o vértice está em
. Esse é o ponto mais baixo da parábola. -
Limites:Isso confirma que a parábola se estende para cima em ambas as direções.
Resposta
O gráfico da função
é uma parábola com concavidade para cima, deslocada 2 unidades para a esquerda e 1 unidade para baixo em relação ao gráfico de
.
Domínio:
Imagem:
Interceptos:
- Com o eixo
: - Com o eixo
: e
Comportamento:
- A parábola é côncava para cima.
- Vértice em
. - À medida que
tende para , tende para .