i) Faça o gráfico de cada função, sem plotar os pontos, mas começando com o gráfico de uma das funções padrões e então aplicando as transformações apropriadas. ii)Determine seus domínios e suas imagens e ache os pontos interceptos nos eixos x e no y. iii) Faça o estudo do comportamento de cada função.
f(x) = (x + 2)² - 1

Passo 1

Vamos resolver o exercício sobre a função quadrática . O objetivo é:
  1. Fazer o gráfico da função aplicando transformações a uma função padrão.
  2. Determinar o domínio, a imagem e encontrar os pontos de interceptação com os eixos e .
  3. Estudar o comportamento da função.
Vamos precisar conhecer a função quadrática padrão e entender como as transformações afetam o gráfico.

Passo 2

Grafico da Função
Começamos com a função padrão , que é uma parábola com concavidade para cima e vértice na origem (0,0).

Passo 3

Aplicando as Transformações
A função dada é . Vamos identificar as transformações aplicadas à função padrão:
  1. Translação Horizontal: O termo indica uma translação 2 unidades para a esquerda. Então, o vértice se move de para .
  2. Translação Vertical: O termo fora do quadrado indica uma translação 1 unidade para baixo. Assim, o vértice final fica em .
Então, o gráfico da função é uma parábola que abriu para cima, deslocada 2 unidades para a esquerda e 1 unidade para baixo em relação à função padrão .

Passo 4

Domínio e Imagem
  • Domínio: Para qualquer função quadrática, o domínio é todos os números reais, ou seja:
    í
  • Imagem (ou Contradomínio): Como a parábola abre para cima e seu vértice está em , a menor valor de é . Portanto, a imagem é:

Passo 5

Interceptos com os Eixos
  • Intercepto com o Eixo : É o valor de quando .
    Então, o intercepto é .
  • Interceptos com o Eixo : São os valores de para os quais .
    Resolvendo:
    Então, os interceptos com o eixo são e .

Passo 6

Estudo do Comportamento
  • Concavidade: Como o coeficiente de é positivo ( ), a parábola é côncava para cima.
  • Vértice: Já identificamos que o vértice está em . Esse é o ponto mais baixo da parábola.
  • Limites:
    Isso confirma que a parábola se estende para cima em ambas as direções.

Resposta

O gráfico da função é uma parábola com concavidade para cima, deslocada 2 unidades para a esquerda e 1 unidade para baixo em relação ao gráfico de .
Domínio:
Imagem:
Interceptos:
  • Com o eixo :
  • Com o eixo : e
Comportamento:
  • A parábola é côncava para cima.
  • Vértice em .
  • À medida que tende para , tende para .

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