i) Faça o gráfico de cada função, sem plotar os pontos, mas começando com o gráfico de uma das funções padrões e então aplicando as transformações apropriadas. ii)Determine seus domínios e suas imagens e ache os pontos interceptos nos eixos x e no y. iii) Faça o estudo do comportamento de cada função.
f(x) = 1/(x + 2)

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado. Temos a função e precisamos:
  1. Fazer o gráfico dessa função começando com uma função padrão e aplicando transformações.
  2. Determinar o domínio, imagem e os pontos de interseção com os eixos e .
  3. Analisar o comportamento da função.
Para resolver isso, vamos precisar conhecer a função padrão e como ela se transforma quando modificamos sua expressão.

Passo 2

Gráfico da Função
a) Função Padrão: Começamos com , que é uma hipérbole com assíntotas nos eixos e .
b) Transformação Horizontal: A função dada é . Essa expressão implica uma translação horizontal da função padrão. O dentro da função indica que o gráfico é deslocado 2 unidades para a esquerda.
Portanto, o gráfico de é a hipérbole padrão deslocada 2 unidades para a esquerda.

Passo 3

Domínio e Imagem
a) Domínio: O domínio de uma função são todos os valores de para os quais a função está definida. Para , o denominador não pode ser zero:
Portanto, o domínio é todos os números reais exceto :
b) Imagem: A imagem de também é todos os números reais exceto , pois uma fração nunca pode ser zero:

Passo 4

Pontos de Interseção com os Eixos
a) Interseção com o Eixo : Para encontrar onde a função intercepta o eixo , calculamos :
Portanto, o ponto de interseção com o eixo é .
b) Interseção com o Eixo : Para encontrar onde a função intercepta o eixo , resolvemos :
Não há solução para essa equação, pois nenhuma fração com numerador 1 pode ser igual a zero. Portanto, não há interseção com o eixo .

Passo 5

Comportamento da Função
Analisamos o comportamento da função em relação às suas assíntotas e aos limites quando tende a certos valores.
a) Assíntotas:
  • Vertical: A função tem uma assíntota vertical em , pois o denominador se torna zero nesse ponto.
  • Horizontal: A função tem uma assíntota horizontal em , pois conforme tende a , se aproxima de zero.
b) Comportamento nas Extremidades:
  • Quando se aproxima de pela direita ( ), tende a .
  • Quando se aproxima de pela esquerda ( ), tende a .
  • Conforme tende a , tende a pela direção positiva.
  • Conforme tende a , tende a pela direção negativa.

Resposta

A função tem domínio , imagem , intercepta o eixo no ponto e não intercepta o eixo . Seu gráfico é uma hipérbole deslocada 2 unidades para a esquerda, com assíntotas em e . A função tende a quando e a quando , além de se aproximar de zero conforme tende a .

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