i) Faça o gráfico de cada função, sem plotar os pontos, mas começando com o gráfico de uma das funções padrões e então aplicando as transformações apropriadas. ii)Determine seus domínios e suas imagens e ache os pontos interceptos nos eixos x e no y. iii) Faça o estudo do comportamento de cada função.
Passo 1
Vamos começar entendendo o enunciado. Temos a função
e precisamos:
- Fazer o gráfico dessa função começando com uma função padrão e aplicando transformações.
- Determinar o domínio, imagem e os pontos de interseção com os eixos
e . - Analisar o comportamento da função.
Para resolver isso, vamos precisar conhecer a função padrão
e como ela se transforma quando modificamos sua expressão.
Passo 2
Gráfico da Função
a) Função Padrão: Começamos com
, que é uma hipérbole com assíntotas nos eixos
e
.
b) Transformação Horizontal: A função dada é
. Essa expressão implica uma translação horizontal da função padrão. O
dentro da função indica que o gráfico é deslocado 2 unidades para a esquerda.
Portanto, o gráfico de
é a hipérbole padrão deslocada 2 unidades para a esquerda.
Passo 3
Domínio e Imagem
a) Domínio: O domínio de uma função são todos os valores de
para os quais a função está definida. Para
, o denominador não pode ser zero:
Portanto, o domínio é todos os números reais exceto
:
b) Imagem: A imagem de
também é todos os números reais exceto
, pois uma fração nunca pode ser zero:
Passo 4
Pontos de Interseção com os Eixos
a) Interseção com o Eixo
: Para encontrar onde a função intercepta o eixo
, calculamos
:
Portanto, o ponto de interseção com o eixo
é
.
b) Interseção com o Eixo
: Para encontrar onde a função intercepta o eixo
, resolvemos
:
Não há solução para essa equação, pois nenhuma fração com numerador 1 pode ser igual a zero. Portanto, não há interseção com o eixo
.
Passo 5
Comportamento da Função
Analisamos o comportamento da função
em relação às suas assíntotas e aos limites quando
tende a certos valores.
a) Assíntotas:
- Vertical: A função tem uma assíntota vertical em
, pois o denominador se torna zero nesse ponto. - Horizontal: A função tem uma assíntota horizontal em
, pois conforme tende a , se aproxima de zero.
b) Comportamento nas Extremidades:
- Quando
se aproxima de pela direita ( ), tende a . - Quando
se aproxima de pela esquerda ( ), tende a . - Conforme
tende a , tende a pela direção positiva. - Conforme
tende a , tende a pela direção negativa.
Resposta
A função
tem domínio
, imagem
, intercepta o eixo
no ponto
e não intercepta o eixo
. Seu gráfico é uma hipérbole deslocada 2 unidades para a esquerda, com assíntotas em
e
. A função tende a
quando
e a
quando
, além de se aproximar de zero conforme
tende a
.