Faça o gráfico, determine o período e o conjunto imagem das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para a gente fazer o gráfico da função
, determinar o período e o conjunto imagem dela. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções trigonométricas, especialmente o cosseno, e como manipular suas características básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o período da função. O período é o intervalo no qual a função se repete. A função básica
tem um período de
. Quando a gente adiciona ou subtrai um número constante, como no caso
, o período não muda. Então, o período da nossa função continua sendo
.
Passo 3
Agora, vamos determinar o conjunto imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores que
pode assumir. Sabemos que o cosseno varia entre -1 e 1, ou seja:
Quando subtraímos 1 dessa inequação, fica:
Então, o conjunto imagem de
é o intervalo
.
Passo 4
Vamos fazer o gráfico da função. Começamos com o gráfico da função
, que é uma onda que oscila entre 1 e -1, com um período de
. Quando subtraímos 1, a onda inteira desce 1 unidade no eixo y. Portanto, agora a função
oscila entre 0 e -2. O gráfico continuará tendo a mesma forma, apenas deslocado para baixo.
Resposta
O período da função
é
e o conjunto imagem é
. O gráfico é uma onda de cosseno deslocada 1 unidade para baixo, oscilando entre 0 e -2.