Faça o gráfico, determine o período e o conjunto imagem das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente desenhar o gráfico da função
, descobrir o período dela e determinar o conjunto imagem. Pra resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções trigonométricas, especialmente o cosseno, e como os coeficientes afetam o gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o período da função. O período é o intervalo em que a função completa uma oscilação completa, ou seja, repete seu padrão. Para a função básica
, o período é
porque leva de
a
para se repetir.
Passo 3
No caso da nossa função
, o número dentro do cosseno, que é o 2, está afetando o período. A fórmula para encontrar o período é:
onde
é o coeficiente de
. Aqui,
, então:
Ou seja, o período da função
é
.
Passo 4
Agora, vamos determinar o conjunto imagem, que é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir. Sabemos que o cosseno, independentemente do coeficiente de
, sempre varia entre -1 e 1. Então, para
, o conjunto imagem é:
Passo 5
Por último, vamos desenhar o gráfico da função
. Sabemos que o gráfico do cosseno começa no ponto máximo (1) quando
. Com o período sendo
, isso significa que o ciclo completo do gráfico ocorre de
a
, e então se repete. O gráfico vai oscilar entre -1 e 1, repetindo esse padrão a cada
unidades no eixo
.
Resposta
A função
tem período igual a
e o conjunto imagem é
.