Mostre as identidades: tg(x) + cotg(x) = sec(x) * cos(sec(x))

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que . Primeiro, vamos entender o que cada termo significa. Estamos trabalhando com funções trigonométricas básicas: tangente ( ), cotangente ( ), secante ( ) e cosseno ( ). Vamos precisar lembrar como essas funções se relacionam umas com as outras e usar algumas identidades trigonométricas para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever tan(x) e em termos de seno ( ) e cosseno ( ). Sabemos que:
Então, substituindo na expressão original:

Passo 3

Agora, vamos somar essas duas frações. Para isso, precisamos de um denominador comum, que é :
E sabemos que pela identidade trigonométrica fundamental.

Passo 4

Substituindo essa identidade na expressão, ficamos com:
Agora, vamos lembrar que e . Então, a expressão pode ser reescrita como:

Passo 5

Vamos dar uma olhada no lado direito da igualdade que queremos provar: . Parece um pouco complicado, mas vamos tentar simplificar. Sabemos que não é uma identidade padrão e pode estar causando confusão. É possível que tenha havido um erro de digitação e a intenção era escrever cos(x) em vez de .

Passo 6

Assumindo que o lado direito correto seja , que coincide com o que obtivemos no Passo 4, então:
Portanto, mostramos que as duas expressões são equivalentes.

Resposta

A identidade foi comprovada passo a passo.

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