Encontre as assíntotas horizontais e verticais de cada curva.

Passo 1

Vamos resolver o problema de encontrar as assíntotas horizontais e verticais da curva definida por . Para isso, vamos utilizar conceitos de funções racionais, que são funções formadas pelo quociente de dois polinômios. Precisaremos entender o que são assíntotas e como identificá-las para determinar o comportamento da função em extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as assíntotas verticais. As assíntotas verticais ocorrem nos valores de que tornam o denominador igual a zero, já que nesses pontos a função não está definida e tende ao infinito. Vamos resolver a equação do denominador:
Subtraindo 3 de ambos os lados:
Dividindo por 5:
Portanto, há uma assíntota vertical em .

Passo 3

Agora, vamos determinar as assíntotas horizontais. As assíntotas horizontais descrevem o comportamento da função quando tende ao infinito positivo ou negativo. Para funções racionais, se o grau do numerador e do denominador forem iguais, a assíntota horizontal será a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.
No nosso caso, o numerador e o denominador são ambos polinômios de grau 1. Então, a assíntota horizontal é:

Resposta

A função possui uma assíntota vertical em e uma assíntota horizontal em .

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Calcule, onde existir, a derivada das funções abaixo:
(h)
Calcule os limites abaixo:
Utilizando a regra da cadeia, calcule as seguintes derivadas:
(e)
a) Faça o gráfico de
b) Determine e
c) Existe ? Em caso afirmativo, qual é? Em caso negativo, por que não?